Дифференциальные уравнения динамики. Реферат: Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки Дифференциальное уравнение движения материальной точки

· Дифференциальные уравнения движения точки связывают ускорение точки с действующими на нее силами. Фактически дифференциальные уравнения являются записью основного закона динамики в явной дифференциальной форме.
Для абсолютного движения точки (движение в инерциальной системе отсчета) дифференциальное уравнение имеет вид:
.

· Векторное уравнение может быть записано в проекциях на оси прямоугольной инерциальной системы координат:

· При известной траектория движения точки уравнение может быть записано в проекциях на оси естественной системы координат:

С учетом того, что ,
где - тангенциальное ускорение;
- нормальное ускорение,
уравнения примут вид:

Общие теоремы динамики

· Общие теоремы динамики устанавливают зависимость между мерами механического движения и механического взаимодействия. Выводы теорем являются результатом тождественного преобразования основного закона динамики.

· Теорема об изменении количества движения: изменение количества движения материальной точки (механической системы) за конечный промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени - для материальной точки;
- для механической системы.

· Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии точки (механической системы) при её перемещении равно сумме работ всех действующих внешних сил на этом перемещении - для материальной точки;
- для механической системы.

· Кинетическая энергия механической системы определяется в соответствии с , при этом для твердых тел выведены следующие зависимости:
- при поступательном движении тела;
- при вращательном движении тела;
- при плоско-параллельном движении тела.

· Момент инерции цилиндра относительно его оси:
.

· Момент инерции стержня относительно оси z :
.

· Момент инерции прямоугольной пластины относительно осей х иy : .

· Момент инерции шара определяется по формуле:
.

· Работа силы тяжести:
,
где P - сила тяжести;
h - изменение положения тела по вертикали.

· Работа силы при вращательном движении тела
,
где M - момент силы,
w - угловая скорость тела.
Следует иметь в виду, что работа, как скалярная величина, может быть положительной или отрицательной. Работа будет положительной если направление действия силы совпадает с направлением движения.

Принцип Даламбера

· Формулировка принципа Даламбера: если в любой момент времени к действующим на точку силам присоединить силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной :
.

· Для механической системы:
.

Примеры решения задач

Решение примеров по теме: «Статика твердого тела»

Пример 1. Условия равновесия

Висящий на нити, под углом в сорок пять градусов к гладкой стене шар весом в десять Ньютон, находится в состоянии равновесия (рис. а ). Необходимо определить давление однородного шара на гладкую стенку и натяжение нити.

Дано: P = 10 Н; α = 45°
Найти: N, T - ?

Решение.
Отбрасываем связи, а их действие на шар заменяем реакциями.
Реакция стенки N направлена перпендикулярно стенке (от точки касания С к центру шара О ), реакция нити Т - вдоль нити от точкиА к точке В .
Тем самым выявляется полная система сил, приложенных к покоящемуся шару.

Это система сил, сходящихся в центре О шара, и состоящая из веса шара Р (активная сила), реакции стенки N и реакции нити Т (рис.б ).

Реакции N и Т по величине неизвестны. Для их определения следует воспользоваться условиями равновесия (в той или иной форме - геометрической, аналитической).

При геометрическом способе решения строится замкнутый многоугольник сил и используются соотношения школьной геометрии (теорема синусов, теорема косинусов, теорема Пифагора и т.д.).

В данном случае это замкнутый силовой треугольник (рис. в ), из которого получаем:

После подстановки в формулы числовых значений, получим:
.

Ответ: .

Решение примеров

Основной закон механики, как указывалось, устанавливает для материальной точки связь между кинематическими (w - ускорение) и кинетическими ( - масса, F - сила) элементами в виде:

Он справедлив для инерциальных систем, которые выбираются в качестве основных систем, поэтому фигурирующее в нем ускорение резонно называть абсолютным ускорением точки.

Как указывалось, сила, действующая на точку, в общем случае зависит от времени положения точки, которое можно определить радиусом-вектором и скорости точки Заменяя ускорение точки его выражением через радиус-вектор, основной закон динамики запишем в виде:

В последней записи основной закон механики представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, служащее для определения уравнения движения точки в конечной форме. Уравнение, приведенное выше, называется уравнением движения точки в дифференциальной форме и векторном виде.

Дифференциальные уравнение движения точки в проекциях на декартовы координаты

Интегрирование дифференциального уравнения (см. выше) в общем случае представляет собой сложную задачу и обычно для решения ее от векторного уравнения переходят к скалярным уравнениям. Так как сила, действующая на точку, зависит от времени положения точки или ее координат и скорости точки или проекции скорости то, обозначая проекции вектора силы на прямоугольную систему координат соответственно дифференциальные уравнения движения точки в скалярной форме будут иметь вид:

Естественная форма дифференциальных уравнений движения точки

В тех случаях, когда заранее известна траектория точки, например, когда на точку наложена связь, определяющая ее траекторию, удобно пользоваться проекцией векторного уравнения движения на естественные оси, направленные по касательной, главной нормали и бинормали траектории. Проекции силы, которые назовем соответственно будут в этом случае зависеть от времени t, положения точки, которое определяется дугой траектории и скорости точки, или Так как ускорение через проекции на естественные оси записывается в виде:

то уравнения движения в проекции на естественные оси имеют вид:

Последние уравнения называются естественными уравнениями движения. Из этих уравнений следует, что проекция действующей на точку силы на бинормаль равна нулю и проекция силы на главную нормаль определяется после интегрирования первого уравнения. Действительно, из первого уравнения будет определено как функция времени t при заданной тогда, подставляя во второе уравнение найдем так как при заданной траектории радиус кривизны ее известен.

Дифференциальные уравнения движения точки в криволинейных координатах

Если положение точки задано ее криволинейными координатами то, проектируя векторное уравнение движения точки на направления касательных к координатным линиям, получим уравнения движения в виде.

Используя основной закон динамики и формулы для ускорения МТ при различных способах задания движения, можно получить дифференциальные уравнения движения как свободной, так и несвободной материальной точки. При этом для несвободной материальной точки ко всем приложенным к МТ активным (заданным) силам надо добавить на основании аксиомы связей (принципа освобождаемости) силы пассивные (реакции связи).

Пусть – равнодействующая системы сил (активных и реакций), действующих на точку.

На основании второго закона динамики

с учетом соотношения, определяющего ускорение точки при векторном способе задания движения: ,

получим дифференциальное уравнение движения МТ постоянной массы в векторной форме:

Спроектировав соотношение (6) на оси декартовой системы координат Oxyz и использовав соотношения, определяющие проекции ускорения на оси декартовой системы координат:

получим дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на эти оси:

Спроектировав соотношение (6) на оси естественного трехгранника () и использовав соотношения, определяющие формулы для ускорения точки при естественном способе задания движения:

получим дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси естественного трехгранника:

Аналогично можно получить дифференциальные уравнения движения материальной точки в других системах координат (полярной, цилиндрической, сферической и т. д.).

С помощью уравнений (7)-(9) ставятся и решаются две основные задачи динамики материальной точки.

Первая (прямая) задача динамики материальной точки :

зная массу материальной точки и заданные тем или иным способом уравнения или кинематические параметры ее движения, необходимо найти действующие на материальной точки силы.

Например, если заданы уравнения движения материальной точки в декартовой системе координат:

то проекции на оси координат силы , действующей на МТ, определятся после использования соотношений (8):

Зная проекции силы на координатные оси, легко определить модуль силы и направляющие косинусы углов, которые составляет сила с осями декартовой системы координат.

Для несвободной МТ обычно необходимо еще, зная действующие на нее активные силы, определить реакции связи.

Вторая (обратная) задача динамики материальной точки:

зная массу точки и действующие на нее силы, необходимо определить уравнения или кинематические параметры ее движения при определенном способе задания движения.

Для несвободной материальной точки обычно необходимо, зная массу материальной точки и действующие на нее активные силы, определить уравнения или кинематические параметры ее движения и реакции связи.

Силы, приложенные к точке, могут зависеть от времени, положения материальной точки в пространстве и от скорости ее движения, т. е.

Рассмотрим решение второй задачи в декартовой системе координат. Правые части дифференциальных уравнений движения (8) в общем случае содержат функции времени, координат, их производных по времени:

Для того, чтобы найти уравнения движения МТ в декартовых координатах, необходимо дважды проинтегрировать систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (10), в которых неизвестными функциями являются координаты движущейся точки, а аргументом – время t. Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что общее решение системы трех дифференциальных уравнений второго порядка содержит шесть произвольных постоянных:

где C g , (g = 1,2,…,6) – произвольные постоянные.

Продифференцировав соотношения (11) по времени, определим проекции скорости МТ на координатные оси:

В зависимости от значений постоянных C g , (g =1,2,…,6) уравнения (11) описывают целый класс движений, который могла бы совершить МТ под действием данной системы сил.

Действующие силы определяют только ускорение МТ, а скорость и положение МТ на траектории зависят еще от скорости, которую сообщили МТ в начальный момент, и от начального положения МТ.

Для выделения конкретного вида движения МТ (т. е. чтобы сделать вторую задачу определенной) надо дополнительно задать условия, позволяющие определить произвольные постоянные. В качестве таких условий задают начальные условия, т. е. в какой-то определенный момент времени, принимаемый за начальный, задаются координаты движущейся МТ и проекции ее скорости:

где – значения координат материальной точки и их производных в начальный момент времени t=0.

Используя начальные условия (13), формулы (12) и (11), получаем шесть алгебраических уравнений для определения шести произвольных постоянных:

Из системы (14) можно определить все шесть произвольных постоянных:

. (g = 1,2,…,6)

Подставляя найденные значения C g , (g = 1,2,…,6) в уравнения движения (11), находим решения второй задачи динамики в виде закона движения точки.

Пусть Oxyz - инерциальная система координат, М - движущая точка массы m, - равнодействующая всех сил, приложенных к точке, - ускорение точки (рис. 1). В любой момент времени для движущейся точки выполняется основное уравнение динамики:

Вспоминая из кинематики формулу

выражающую ускорение через радиус-вектор точки, представим основное уравнение динамики в следующем виде:

Это равенство, выражающее основное уравнение динамики в дифференциальной форме, называется векторным дифференциальным уравнением движения материальной точки.

Векторное дифференциальное уравнение эквивалентно трем скалярным дифференциальным уравнениям того же порядка. Они получаются, если основное уравнение динамики спроектировать на координатные оси и записать в координатной форме:

Так как эти равенства запишутся так:

Полученные равенства называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки в декартовой системе координат. В этих уравнениях текущие координаты точки, - проекции на координатные оси равнодействующей сил, приложенных к точке.

Если для ускорения воспользоваться формулой

то векторное и скалярные дифференциальные уравнения движения точки запишутся в виде дифференциальных уравнений первого порядка: - векторное дифференциальное уравнение; - скалярные дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения движения точки можно записать не только в декартовой, но в любой другой системе координат.

Так, проектируя основное уравнение динамики на естественные координатные оси, получаем равенства:

где - проекции ускорения на касательную, главную нормаль и бинормаль траектории в текущем положении точки; - проекции равнодействующей силы на эти же оси. Вспоминая формулы кинематики для проекций ускорения на естественные оси и подставляя их в написанные равенства, получим:

Это дифференциальные уравнения движения материальной точки в естественной форме. Здесь - проекция скорости на направление касательной, - радиус кривизны траектории в текущем положении точки. Многие задачи динамики точки решаются более просто, если воспользоваться дифференциальными уравнениями движения в естественной форме.

Рассмотрим примеры на составление дифференциальных уравнений движения.

Пример 1. Материальная точка массой брошена под углом к горизонту и движется в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости: , где b - заданный постоянный коэффициент пропорциональности.

Изображаем движущуюся точку в произвольный (текущий) момент времени t, прикладываем действующие силы - силу сопротивления R и вес точки (рис. 2). Выбираем координатные оси - начало координат принимаем в начальном положении точки, ось направляем горизонтально в сторону движения, ось у - вертикально вверх. Определяем проекции равнодействующей на выбранные оси ( - угол наклона скорости к горизонту):

Подставляя эти значения в дифференциальные уравнения движения точки в общем виде, получаем дифференциальные уравнения движения, соответствующие нашей задаче:

Третье уравнение отсутствует, так как движение происходит в плоскости .

Пример 2. Движение математического маятника в пустоте. Математическим маятником называют материальную точку М, подвешенную при помощи невесомой нити (или стержня) длиной к неподвижной точке О и движущуюся под действием силы тяжести в вертикальной плоскости, проходящей через точку подвеса (рис. 3). В данном примере траектория точки известна (это окружность радиуса с центром в точке О), поэтому целесообразно воспользоваться дифференциальными уравнениями движения в естественной форме. Принимаем за начало отсчета дуговой координаты наинизшую точку окружности направление отсчета выберем вправо. Изображаем естественные оси - касательную , главную нормаль бинормаль направлена на читателя. Проекции на эти оси равнодействующей приложенных сил - веса и реакции связи таковы ( - угол наклона маятника к вертикали).

Динамика изучает механическое движение материальных тел под действием приложенных сил. Простейшим материальным объектом является материальная точка. Абсолютно твердое тело можно рассматривать как неизменяемую систему материальных точек. Расстояние между точками остаются постоянными.

Силы, действующие на материальные тела, могут быть постоянными или переменными. Постоянной можно считать силу тяжести. Переменные силы могут зависеть от времени, от положения тела или от его скорости. В частности, сила упругости зависит от положения груза, сила сопротивлениязависит от скорости (рис. 1). От времени зависит сила тяги электровоза при постепенном включении реостата. На тело одновременно может действовать несколько разных сил. Так, при возвращении на землю космического аппарата на него действуют: постоянная сила тяжести, сила сопротивления, зависящая от скорости, сила тяготения, зависящая от положения тела. Законы сложения или приведения переменных сил такие же, как и постоянных сил.

Движение материальных объектов рассматривается по отношению к определенной системе отсчета. Систему отсчета, связанную с землей, называют инерциальной. В такой системе соблюдается основной закон динамики:

, (1.1)

где m-масса точки,

- ускорение точки.

Масса – это мера инертности. Она не зависит от природы силы, приложенной к точке. Чем больше масса, тем большую силу необходимо приложить к точке, чтобы изменить ее скорость.

Материальная точка является свободной, если на нее не наложены связи. Движение такой точки зависит от действующих на нее активных (заданных) сил и начальных условий. Если на точку наложены какие-либо связи, то ее движение зависит от активных сил и реакций связей.

Множество частных задач динамики можно свести к двум основным задачам:

по заданному движению материальной точки или системы определить силы, действующие на точку или систему – прямая задача динамики;

по заданным силам, действующим на точку или систему, определить закон движения этой системы – обратная задача.

2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.

Для решения соответствующей задачи динамики необходимо составить уравнения, устанавливающие зависимость между массой движущей точки, ее ускорением и действующими на нее ускорениями. Дифференциальное уравнение движения точки в векторной форме и имеет вид:
(2.1)

Уравнение (2.1) можно спроецировать на оси декартовой системы координат:

,
,
(2.2)

Если точка по криволинейной траектории, то для решения соответствующей задачи динамики используют дифференциальные уравнения движения точки в естественной форме (в проекциях на естественные оси координат):

,
. (2.3)

Решение первой задачи динамики.

При решении первой задачи динамики можно использовать дифференциальные уравнения движения точки в векторной, координатной и естественной форме. Решение задачи необходимо осуществлять в следующем порядке:

1. изобразить точку в текущий момент времени;

2. показать активные (заданные) силы, действующие на точку;

3. освободить точку от связей, заменяя действие связей реакциями;

4. выбрать систему координат, если она не указана в задаче;

5. составить дифференциальные уравнения движения точки в выбранной системе координат;

6. по заданным уравнениям движения определить проекции ускорения на оси координат;

7. из дифференциальных уравнений движения определить проекции силы, действующей на точку.

РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ДЛЯ СВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

ПРИМЕР 1.

Материальная точка массой m движется по окружности радиуса R согласно уравнению OM=S=Re 2 t (рис. 2). Определить величину равнодействующей сил, приложенных к точке, как функцию времени.

РЕШЕНИЕ.

1. Так как точка движется по криволинейной траектории, используем дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на естественные оси: касательную и нормаль:

,
. (1)

2. Выразим из закона движения точки проекции ускорения на естественные оси

;

; (2)

Рисунок 1

. (3)

Подставим (2) и (3) в (1), выразим проекции силы

на естественные оси:

;
.

Силу, действующую на точку, выразим через ее

проекции на естественные оси

РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

ПРИМЕР 2.

Определить давление автомобиля весом Р=10000Н, движущегося с постоянной скоростью
36км/ч по мосту с радиусом кривизны
20м, если автомобиль находится в центре вогнутого (рис. 3,а) и выпуклого (рис. 3,б) моста.