Как решать неравенства в тригонометрии. Методы решения тригонометрических неравенств

Первая точка — как обычно, arcsin(-a)=-arcsina. Чтобы попасть во вторую точку, идем верхним путем, то есть в сторону увеличения угла.

На этот раз мы за п переходим. На сколько переходим? На arcsin x. Значит, вторая точка — это п+arcsin x. Почему нет минуса? Потому что минус в записи -arcsin a обозначает движение по часовой стрелки, а мы шли против. И в заключении, к каждому концу интервала прибавляем 2пn.

5) sinx>a, если а>1.

Единичная окружность лежит целиком под прямой y=a. Нет ни одной точки выше прямой. Значит, решений нет.

6) sinx>-a, где a>1.

В этом случае вся единичная окружность целиком лежит над прямой y=a. Поэтому любая точка удовлетворяет условию sinx>a. Значит, x — любое число.

И здесь x — любое число, поскольку точки -п/2+2пn входят в решение, в отличие от строгого неравенства sinx>-1. Ничего исключать не надо.

Единственной точкой на окружности, удовлетворяющей данному условию, является п/2. С учетом периода синуса, решением данного неравенства является множество точек x=п/2+2пn.

Например, решить неравенство sinx>-1/2:

Большинство студентов тригонометрические неравенства недолюбливают. А зря. Как говаривал один персонаж,

“Вы просто не умеете их готовить”

Так как же “готовить” и с чем подавать неравенство с синусом мы разберёмся в этой статье. Решать мы будем самым простым способом – с помощью единичной окружности.

Итак, перво-наперво нам потребуется следующий алгоритм.

Алгоритм решения неравенств с синусом:

1. на оси синуса откладываем число $a$ и проводим прямую параллельно оси косинусов до пересечения с окружностью;
2. точки пересечения этой прямой с окружностью будут закрашенными, если неравенство нестрогое, и не закрашенными, если неравенство строгое;
3. область решения неравенства будет находится выше прямой и до окружности, если неравенство содержит знак “$>$”, и ниже прямой и до окружности, если неравенство содержит знак “$<$”;
4. для нахождения точек пересечения, решаем тригонометрическое уравнение $\sin{x}=a$, получаем $x=(-1)^{n}\arcsin{a} + \pi n$;
5. полагая $n=0$, мы находим первую точку пересечения (она находится или в первой, или в четвёртой четверти);
6. для нахождения второй точки, смотрим, в каком направлении мы идём по области ко второй точке пересечения: если в положительном направлении, то следует брать $n=1$, а, если в отрицательном, то $n=-1$;
7. в ответ выписывается промежуток от меньшей точки пересечения $+ 2\pi n$ до большей $+ 2\pi n$.

Ограничение алгоритма

Важно: д анный алгоритм не работает для неравенств вида $\sin{x} > 1; \ \sin{x} \geq 1, \ \sin{x} < -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Частные случаи при решении неравенства с синусом

Важно отметить также следующие случаи, которые гораздо удобнее решить логически, не используя вышеуказанный алгоритм.

Частный случай 1. Решить неравенство:

$\sin{x} \leq 1.$

В силу того, что область значения тригонометрической функции $y=\sin{x}$ не больше по модулю $1$, то левая часть неравенства при любом $x$ из области определения (а область определения синуса – все действительные числа) не больше $1$. А, значит, в ответ мы записываем: $x \in R$.

Следствие:

$\sin{x} \geq -1.$

Частный случай 2. Решить неравенство:

$\sin{x} < 1.$

Применяя аналогичные частному случаю 1 рассуждения, получим, что левая часть неравенства меньше $1$ для всех $x \in R$, кроме точек, являющихся решением уравнения $\sin{x} = 1$. Решая это уравнение, будем иметь:

$x = (-1)^{n}\arcsin{1}+ \pi n = (-1)^{n}\frac{\pi}{2} + \pi n.$

А, значит, в ответ мы записываем: $x \in R \backslash \left\{(-1)^{n}\frac{\pi}{2} + \pi n\right\}$.

Следствие: аналогично решается и неравенство

$\sin{x} > -1.$

Примеры решения неравенств с помощью алгоритма.

Пример 1: Решить неравенство:

$\sin{x} \geq \frac{1}{2}.$

1. Отметим на оси синусов координату $\frac{1}{2}$.
2. Проведём прямую параллельно оси косинусов и проходящую через эту точку.
3. Отметим точки пересечения. Они будут закрашенными, так как неравенство нестрогое.
4. Знак неравенства $\geq$, а значит закрашиваем область выше прямой, т.е. меньший полукруг.
5. Находим первую точку пересечения. Для этого неравенство превращаем в равенство и решаем его: $\sin{x}=\frac{1}{2} \ \Rightarrow \ x=(-1)^{n}\arcsin{\frac{1}{2}}+\pi n =(-1)^{n}\frac{\pi}{6} + \pi n$. Полагаем далее $n=0$ и находим первую точку пересечения: $x_{1}=\frac{\pi}{6}$.
6. Находим вторую точку. Наша область идёт в положительном направлении от первой точки, значит $n$ полагаем равным $1$: $x_{2}=(-1)^{1}\frac{\pi}{6} + \pi \cdot 1 = \pi – \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Таким образом, решение примет вид:

$x \in \left[\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n\right], \ n \in Z.$

Пример 2: Решить неравенство:

$\sin{x} < -\frac{1}{2}$

Отметим на оси синусов координату $- \frac{1}{2}$ и проведём прямую параллельно оси косинусов и проходящую через эту точку. Отметим точки пересечения. Они будут не закрашенными, так как неравенство строгое. Знак неравенства $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin{x}=-\frac{1}{2}$

$x=(-1)^{n}\arcsin{\left(-\frac{1}{2}\right)}+ \pi n =(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n$.

Полагая далее $n=0$, находим первую точку пересечения: $x_{1}=-\frac{\pi}{6}$. Наша область идёт в отрицательном направлении от первой точки, значит $n$ полагаем равным $-1$: $x_{2}=(-1)^{-1+1}\frac{\pi}{6} + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$.

Итак, решением этого неравенства будет промежуток:

$x \in \left(-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n; -\frac{\pi}{6} + 2 \pi n\right), \ n \in Z.$

Пример 3: Решить неравенство:

$1 – 2\sin{\left(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}\right)} \leq 0.$

Этот пример решать сразу с помощью алгоритма нельзя. Для начала его надо преобразовать. Делаем в точности так, как делали бы с уравнением, но не забываем про знак. Деление или умножение на отрицательное число меняет его на противоположный!

Итак, перенесём всё, что не содержит тригонометрическую функцию в правую часть. Получим:

$- 2\sin{\left(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}\right)} \leq -1.$

Разделим левую и правую часть на $-2$ (не забываем про знак!). Будем иметь:

$\sin{\left(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}\right)} \geq \frac{1}{2}.$

Опять получилось неравенство, которое мы не можем решить с помощью алгоритма. Но здесь уже достаточно сделать замену переменной:

$t=\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}.$

Получаем тригонометрическое неравенство, которое можно решить с помощью алгоритма:

$\sin{t} \geq \frac{1}{2}.$

Это неравенство было решено в примере 1, поэтому позаимствуем оттуда ответ:

$t \in \left[\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n\right].$

Однако, решение ещё не закончилось. Нам нужно вернуться к исходной переменной.

$(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}) \in \left[\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n\right].$

Представим промежуток в виде системы:

$\left\{\begin{array}{c} \frac{x}{4}+\frac{\pi}{6} \geq \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \\ \frac{x}{4}+\frac{\pi}{6} \leq \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n. \end{array} \right.$

В левых частях системы стоит выражение ($\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}$), которое принадлежит промежутку. За первое неравенство отвечает левая граница промежутка, а за второе – правая. Причём скобки играют немаловажную роль: если скобка квадратная, то неравенство будет нестрогим, а если круглая, то строгим. наша задача получить слева $x$ в обоих неравенствах .

Перенесём $\frac{\pi}{6}$ из левой части в правые, получим:

$\left\{\begin{array}{c} \frac{x}{4} \geq \frac{\pi}{6} + 2\pi n -\frac{\pi}{6}, \\ \frac{x}{4} \leq \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n – \frac{\pi}{6}. \end{array} \right.$

Упрощая, будем иметь:

$\left\{\begin{array}{c} \frac{x}{4} \geq 2\pi n, \\ \frac{x}{4} \leq \frac{2\pi}{3} + 2 \pi n. \end{array} \right.$

Умножая левые и правые части на $4$, получим:

$\left\{\begin{array}{c} x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac{8\pi}{3} + 8 \pi n. \end{array} \right.$

Собирая систему в промежуток, получим ответ:

$x \in \left[ 8\pi n; \frac{8\pi}{3} + 8 \pi n\right], \ n \in Z.$

решение неравенства в режиме онлайн решение почти любого заданного неравенства онлайн . Математические неравенства онлайн для решения математики. Быстро найти решение неравенства в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет найти решение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного неравенства онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать неравенства онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение неравенства онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических неравенства онлайн - это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические неравенства онлайн , тригонометрические неравенства онлайн , трансцендентные неравенства онлайн , а также неравенства с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Неравенства служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических неравенств можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины неравенств можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде неравенств и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое неравенство , тригонометрическое неравенство или неравенства содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения неравенств . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических неравенств онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических неравенств онлайн , тригонометрических неравенств онлайн , а также трансцендентных неравенств онлайн или неравенств с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению инетравол решений различных математических неравенств ресурса www.. Решая неравенства онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение неравенств на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать неравенство и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением неравенства. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить неравенство онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении неравенств онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или неравенство с неизвестными параметрами.

Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств и распознавание способов решения тригонометрических неравенств.

Учителя высшей квалификационной категории:

Ширко Ф.М. п. Прогресс, МОБУ-СОШ №6

Санкина Л.С. г. Армавир, ЧОУ СОШ «Новый путь»

Не существует универсальных приемов преподавания дисциплин естественно-математического цикла. Каждый учитель находит свои, приемлемые только для него способы преподавания.

Наш многолетний опыт преподавания показывает, что учащиеся легче усваивают материал, требующий концентрации внимания и сохранения в памяти большого объема информации, если они научены использовать в своей деятельности алгоритмы на начальной стадии обучения сложной темы. Такой темой на наш взгляд, является тема решение тригонометрических неравенств.

Итак, перед тем, как мы приступим с учащимися к выявлению приемов и способов решения тригонометрических неравенств, отрабатываем и закрепляем алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств.

Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств

Отмечаем на соответствующей оси точки (для sin x – ось ОУ, для cos x – ось ОХ )

Восстанавливаем перпендикуляр к оси, который пересечет окружность в двух точках.

Первой на окружности подписываем точку, которая принадлежит промежутку области значений аркфункции по определению.

Начиная от подписанной точки, заштриховываем дугу окружности, соответствующую заштрихованной части оси.

Обращаем особое внимание на направление обхода. Если обход совершается по часовой стрелке (т.е. присутствует переход через 0), то вторая точка на окружности будет отрицательной, если против часовой стрелки – положительной.

Записываем ответ в виде промежутка с учетом периодичности функции.

Рассмотрим работу алгоритма на примерах.

1) sin ≥ 1/2;

Решение:

Изображаем единичную окружность.;

Отмечаем на оси ОУ точку ½.

Восстанавливаем перпендикуляр к оси,

который пересечет окружность в двух точках.

По определению арксинуса первой отмечаем

точку π/6.

Заштриховываем ту часть оси, которая соответствует

данному неравенству, выше точки ½.

Заштриховываем дугу окружности, соответствующую заштрихованной части оси.

Обход совершается против часовой стрелки, получили точку 5π/6.

Записываем ответ в виде промежутка с учетом периодичности функции;

Ответ: x ;[π/6 + 2πn , 5π/6 + 2πn ], n  Z.

Простейшее неравенство решается по тому же алгоритму, если в записи ответа нет табличного значения.

Учащиеся, на первых уроках решая неравенства у доски, проговаривают каждый шаг алгоритма вслух.

2) 5 cos x – 1 ≥ 0;

Решение: у

5 cos x – 1 ≥ 0;

cos x ≥ 1/5;

Изображаем единичную окружность.

Отмечаем на оси ОХ точку с координатой 1/5.

Восстанавливаем перпендикуляр к оси, который

пересечет окружность в двух точках.

Первой на окружности подписываем точку, которая принадлежит промежутку области значений арккосинуса по определению (0;π).

Заштриховываем ту часть оси, которая соответствует данному неравенству.

Начиная от подписанной точки arccos 1/5, заштриховываем дугу окружности, соответствующую заштрихованной части оси.

Обход совершается по часовой стрелке (т.е. присутствует переход через 0), значит, вторая точка на окружности будет отрицательной -arccos 1/5.

Записываем ответ в виде промежутка с учетом периодичности функции, от меньшего значения к большему.

Ответ: x  [-arccos 1/5 + 2πn , arccos 1/5 + 2πn ], n  Z.

Совершенствованию умения решать тригонометрические неравенства способствуют вопросы: «Каким способом будем решать группу неравенств?»; «Чем одно неравенство отличается от другого?»; «Чем одно неравенство похоже на другое?»; Как изменился бы ответ, если было дано строгое неравенство?»; Как изменился бы ответ, если было вместо знака «» стоял знак «

Задание на анализ списка неравенств с позиций способов их решения позволяет отработать их распознавание.

Учащимся предлагаются неравенства, которые необходимо решить на уроке.

Вопрос: Выделите неравенства, которые требуют применения равносильных преобразований при сведении тригонометрического неравенства к простейшему?

Ответ 1, 3, 5.

Вопрос: Назовите неравенства, в которых требуется рассмотреть сложный аргумент как простой?

Ответ: 1, 2, 3, 5, 6.

Вопрос: Назовите неравенства, где можно применить тригонометрические формулы?

Ответ: 2, 3, 6.

Вопрос: Назовите неравенства, где можно применить метод введения новой переменной?

Ответ: 6.

Задание на анализ списка неравенств с позиций способов их решения позволяет отработать их распознавание. При формировании умений важно выделять этапы его выполнения и формулировать их в общем виде, что и представлено в алгоритме решения простейших тригонометрических неравенств.

Решение неравенств онлайн на сайте Math24.biz обеспечит максимальную точность в расчетах. Неравенство в математике - утверждение об относительной величине или порядке двух объектов (один из объектов меньше или не больше другого), или о том, что два объекта не одинаковы (отрицание равенства). В элементарной математике изучают числовые неравенства, в общей алгебре, анализе, геометрии рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы. Для решения неравенства обязательно должны быть определены обе его части с одним из знаков неравенства между ними. Строгие неравенства подразумевают неравенство двух объектов. В отличие от строгих, нестрогие неравенства допускают равенство входящих в него объектов. Линейные неравенства представляют собой простейшие с точки зрения начала изучения выражения, и для решения таких неравенств используются самые простые методики. Главная ошибка учеников в решении неравенств онлайн в том, что они не различают особенность строгого и нестрогого неравенства, от чего зависит войдут или нет граничные значения в конечный ответ. Несколько неравенств, связанных между собой несколькими неизвестными, называют системой неравенств. Решением неравенств из системы является некая область на плоскости, либо объемная фигура в трехмерном пространстве. Наряду с этим абстрагируются n-мерными пространствами, однако при решении таких неравенств зачастую не обойтись без специальных вычислительных машин. Для каждого неравенства в отдельности нужно найти значения неизвестного на границах области решения. Множество всех решений неравенства и является его ответом. Замена одного неравенства равносильным ему другим неравенством называется равносильным переходом от одного неравенства к другому. Аналогичный подход встречается и в других дисциплинах, потому что помогает привести выражения к стандартному виду. Вы оцените по достоинству все преимущества решение неравенств онлайн на нашем сайте. Неравенство - это выражение, содержащее один из знаков = >. По сути это логическое выражение. Оно может быть либо верным, либо нет - в зависимости от того, что стоит справа и слева в этом неравенстве. Разъяснение смысла неравенства и основные приемы решения неравенств изучаются на разных курсах, а также в школе. Решение любых неравенств онлайн - неравенства с модулем, алгебраические, тригонометрические, трансцендентные неравенства онлайн. Тождественное неравенство, как строгие и нестрогие неравенства, упрощают процесс достижения конечного результата, являются вспомогательным инструментом для разрешения поставленной задачи. Решение любых неравенств и систем неравенств, будь то логарифмические, показательные, тригонометрические или квадратных неравенства, обеспечивается с помощью изначально правильного подхода к этому важному процессу. Решение неравенств онлайн на сайте сайт всегда доступно всем пользователям и абсолютно бесплатно. Решениями неравенства с одной переменной называются значения переменной, которые обращают его в верное числовое выражение. Уравнения и неравенства с модулем: модуль действительного числа - это абсолютная величина этого числа. Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень. Неравенства – это выражения, указывающие на сравнение чисел, поэтому грамотное решение неравенств обеспечивает точность таких сравнений. Они бывают строгими (больше, меньше) и нестрогими (больше или равно, меньше или равно). Решить неравенство – значит найти все те значения переменных, которые при подстановке в исходное выражение обращают его в верное числовое представление.. Понятие неравенства, его сущность и особенности, классификация и разновидности - вот что определяет специфику данного математического раздела. Основные свойства числовых неравенств, применимые ко всем объектам данного класса, обязательно должны быть изучены учениками на начальном этапе ознакомления с данной темой. Неравенства и промежутки числовой прямой очень тесно связаны, когда речь идет о решении неравенств онлайн. Графическое обозначение решения неравенства наглядно показывает суть такого выражения, становится понятно к чему следует стремиться при решении какой-либо поставленной задачи. В основу понятия неравенства входит сравнение двух или нескольких объектов. Неравенства, содержащие переменную, решаются как аналогично составленные уравнения, после чего делается выборка интервалов, которые будут приняты за ответ. Любое алгебраическое неравенство, тригонометрическое неравенство или неравенства содержащие трансцендентные функции, вы с легкостью и мгновенно сможете решить, используя наш бесплатный сервис. Число является решением неравенства, если при подстановке этого числа вместо переменной получаем верное выражение, то есть знак неравенства показывает истинное понятие.