Приближенное значение арифметического квадратного корня. Как найти квадратный корень числа вручную
Тип урока: комбинированный.
Просмотр содержимого документа
«Приближенные вычисления квадратного корня.»
8 класс
Дата:
Урок № 9.
Тема: Приближенные вычисления квадратного корня.
Цели: 1. Научить учащихся находить приближенные значения квадратных корней.
2. Развивать наблюдательность, умение анализировать, сравнивать, делать выводы.
Воспитывать позитивное отношение к учебному труду
Тип урока: комбинированный.
Формы организации урока: индивидуальная, коллективная
Оборудование: проектная доска, карточки для рефлексии настроений, микрокалькулятор
Три пути ведут к знанию: путь размышления
Это путь самый благородный,
путь подражания – это путь самый легкий
и путь опыта – это путь самый горький.
Конфуций
Ход урока.
Организационный момент
Этап проверки домашнего задания
№ 60 – у доски выполняет 1 учащийся, на месте проверяет правильность выполнения задания другой ученик
Устная работа: проектируется на доску
а) Найди значение корня:
б) Имеет ли смысл выражение:
в) Найди число, арифметический квадратный корень которого равен 0; 1; 3; 10; 0,6
Этап объяснения нового материала
Для того, чтобы вычислить приближенное значение квадратного корня, необходимо использовать микрокалькулятор. Для этого нужно ввести в калькулятор подкоренное выражение и нажать на клавишу со знаком радикала. Но не всегда под рукой имеется калькулятор, поэтому находить приближенное значение квадратного корня можно следующим образом:
Пусть надо найти значение .
Так как , то . Теперь среди чисел, расположенных на отрезке от 1 до 2 возьмем соседние числа 1,4 и 1,5, получим: , далее возьмем числа 1,41 и 1,42,эти числа удовлетворяют неравенству . Если продолжить данный процесс возведения в квадрат соседних чисел, то получим следующую систему неравенств:
Проецируется на доску.
Из этой системы, сравнивая цифры после запятой, получаем:
Приближенные значения квадратных корней можно брать по избытку и по недостатку, т.е. по недостатку с точностью до 0,0001 и по избытку.
Закрепление изученного материала.
Уровень «А»
0,2664 0,2 – по недостатку
№93 (используется калькулятор)
5. Валеологическая пауза: упражнения для глаз.
Уровень «В»
6. Историческая справка о необходимости нахождения значения квадратных корней
(Заранее предлагается желающему ученику подготовить сообщение на эту тему, используя интернет)
Предлагается формула для нахождения приближенного значения квадратного корня из иррационального числа:
Уровень «С» № 105
7. Рефлексия.
Итог урока.
Домашнее задание: № 102,
Приближенные вычисления с помощью дифференциала
На данном уроке мы рассмотрим широко распространенную задачу о приближенном вычислении значения функции с помощью дифференциала . Здесь и далее речь пойдёт о дифференциалах первого порядка, для краткости я часто буду говорить просто «дифференциал». Задача о приближенных вычислениях с помощью дифференциала обладает жёстким алгоритмом решения, и, следовательно, особых трудностей возникнуть не должно. Единственное, есть небольшие подводные камни, которые тоже будут подчищены. Так что смело ныряйте головой вниз.
Кроме того, на странице присутствуют формулы нахождения абсолютной и относительной погрешность вычислений. Материал очень полезный, поскольку погрешности приходится рассчитывать и в других задачах. Физики, где ваши аплодисменты? =)
Для успешного освоения примеров необходимо уметь находить производные функций хотя бы на среднем уровне, поэтому если с дифференцированием совсем нелады, пожалуйста, начните с урока Как найти производную? Также рекомендую прочитать статью Простейшие задачи с производной , а именно параграфы о нахождении производной в точке и нахождении дифференциала в точке . Из технических средств потребуется микрокалькулятор с различными математическими функциями. Можно использовать Эксель, но в данном случае он менее удобен.
Практикум состоит из двух частей:
– Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной.
– Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных.
Кому что нужно. На самом деле можно было разделить богатство на две кучи, по той причине, что второй пункт относится к приложениям функций нескольких переменных . Но что поделать, вот люблю я длинные статьи.
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала функции одной переменной
Рассматриваемое задание и его геометрический смысл уже освещёны на уроке Что такое производная? , и сейчас мы ограничимся формальным рассмотрением примеров, чего вполне достаточно, чтобы научиться их решать.
В первом параграфе рулит функция одной переменной. Как все знают, она обозначается через или через . Для данной задачи намного удобнее использовать второе обозначение. Сразу перейдем к популярному примеру, который часто встречается на практике:
Пример 1
Решение: Пожалуйста, перепишите в тетрадь рабочую формулу для приближенного вычисления с помощью дифференциала :
Начинаем разбираться, здесь всё просто!
На первом этапе необходимо составить функцию . По условию предложено вычислить кубический корень из числа: , поэтому соответствующая функция имеет вид: . Нам нужно с помощью формулы найти приближенное значение .
Смотрим на левую часть
формулы , и в голову приходит мысль, что число 67 необходимо представить в виде . Как проще всего это сделать? Рекомендую следующий алгоритм: вычислим данное значение на калькуляторе:
– получилось 4 с хвостиком, это важный ориентир для решения.
В качестве подбираем «хорошее» значение, чтобы корень извлекался нацело . Естественно, это значение должно быть как можно ближе к 67. В данном случае: . Действительно: .
Примечание: Когда с подбором всё равно возникает затруднение, просто посмотрите на скалькулированное значение (в данном случае 
), возьмите ближайшую целую часть (в данном случае 4) и возведите её нужную в степень (в данном случае ). В результате и будет выполнен нужный подбор: .
Если , то приращение аргумента: .
Итак, число 67 представлено в виде суммы 
Сначала вычислим значение функции в точке . Собственно, это уже сделано ранее:
Дифференциал в точке находится по формуле: 
– тоже можете переписать к себе в тетрадь.
Из формулы следует, что нужно взять первую производную:
И найти её значение в точке :
Таким образом:
Всё готово! Согласно формуле :
Найденное приближенное значение достаточно близко к значению 
, вычисленному с помощью микрокалькулятора.
Ответ:
Пример 2
Вычислить приближенно , заменяя приращения функции ее дифференциалом.
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока. Начинающим сначала рекомендую вычислить точное значение на микрокалькуляторе, чтобы выяснить, какое число принять за , а какое – за . Следует отметить, что в данном примере будет отрицательным.
У некоторых, возможно, возник вопрос, зачем нужна эта задача, если можно всё спокойно и более точно подсчитать на калькуляторе? Согласен, задача глупая и наивная. Но попытаюсь немного её оправдать. Во-первых, задание иллюстрирует смысл дифференциала функции. Во-вторых, в древние времена, калькулятор был чем-то вроде личного вертолета в наше время. Сам видел, как из местного политехнического института году где-то в 1985-86 выбросили компьютер размером с комнату (со всего города сбежались радиолюбители с отвертками, и через пару часов от агрегата остался только корпус). Антиквариат водился и у нас на физмате, правда, размером поменьше – где-то с парту. Вот так вот и мучились наши предки с методами приближенных вычислений. Конная повозка – тоже транспорт.
Так или иначе, задача осталась в стандартном курсе высшей математики, и решать её придётся. Это основной ответ на ваш вопрос =)
Пример 3
в точке . Вычислить более точное значение функции в точке с помощью микрокалькулятора, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.
Фактически то же самое задание, его запросто можно переформулировать так: «Вычислить приближенное значение 
с помощью дифференциала»
Решение:
Используем знакомую формулу:
В данном случае уже дана готовая функция: 
. Ещё раз обращаю внимание, что для обозначения функции вместо «игрека» удобнее использовать .
Значение необходимо представить в виде . Ну, тут легче, мы видим, что число 1,97 очень близко к «двойке», поэтому напрашивается . И, следовательно: .
Используя формулу 
, вычислим дифференциал в этой же точке.
Находим первую производную:
И её значение в точке :
Таким образом, дифференциал в точке:
В результате, по формуле :
Вторая часть задания состоит в том, чтобы найти абсолютную и относительную погрешность вычислений.
Абсолютная и относительная погрешность вычислений
Абсолютная погрешность вычислений
находится по формуле:
Знак модуля показывает, что нам без разницы, какое значение больше, а какое меньше. Важно, насколько далеко приближенный результат отклонился от точного значения в ту или иную сторону.
Относительная погрешность вычислений
находится по формуле:
, или, то же самое:
Относительная погрешность показывает, на сколько процентов приближенный результат отклонился от точного значения. Существует версия формулы и без домножения на 100%, но на практике я почти всегда вижу вышеприведенный вариант с процентами.
После короткой справки вернемся к нашей задаче, в которой мы вычислили приближенное значение функции 
с помощью дифференциала.
Вычислим точное значение функции с помощью микрокалькулятора:
, строго говоря, значение всё равно приближенное, но мы будем считать его точным. Такие уж задачи встречаются.
Вычислим абсолютную погрешность:
Вычислим относительную погрешность:
, получены тысячные доли процента, таким образом, дифференциал обеспечил просто отличное приближение.
Ответ:
, абсолютная погрешность вычислений , относительная погрешность вычислений
Следующий пример для самостоятельного решения:
Пример 4
Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции 
в точке . Вычислить более точное значение функции в данной точке, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.
Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока.
Многие обратили внимание, что во всех рассмотренных примерах фигурируют корни. Это не случайно, в большинстве случаев в рассматриваемой задаче действительно предлагаются функции с корнями.
Но для страждущих читателей я раскопал небольшой пример с арксинусом:
Пример 5
Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции 
в точке
Этот коротенький, но познавательный пример тоже для самостоятельного решения. А я немного отдохнул, чтобы с новыми силами рассмотреть особое задание:
Пример 6
Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до двух знаков после запятой.
Решение: Что нового в задании? По условию требуется округлить результат до двух знаков после запятой. Но дело не в этом, школьная задача округления, думаю, не представляет для вас сложностей. Дело в том, что у нас дан тангенс с аргументом, который выражен в градусах . Что делать, когда вам предлагается для решения тригонометрическая функция с градусами? Например, и т. д.
Алгоритм решения принципиально сохраняется, то есть необходимо, как и в предыдущих примерах, применить формулу
Записываем очевидную функцию
Значение нужно представить в виде . Серьёзную помощь окажет таблица значений тригонометрических функций . Кстати, кто её не распечатал, рекомендую это сделать, поскольку заглядывать туда придется на протяжении всего курса изучения высшей математики.
Анализируя таблицу, замечаем «хорошее» значение тангенса, которое близко располагается к 47 градусам:
Таким образом: 
После предварительного анализа градусы необходимо перевести в радианы . Так, и только так!
В данном примере непосредственно из тригонометрической таблицы можно выяснить, что . По формуле перевода градусов в радианы: 
(формулы можно найти в той же таблице).
Дальнейшее шаблонно:
Таким образом: 
(при вычислениях используем значение ). Результат, как и требовалось по условию, округлён до двух знаков после запятой.
Ответ:
Пример 7
Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до трёх знаков после запятой.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Как видите, ничего сложного, градусы переводим в радианы и придерживаемся обычного алгоритма решения.
Приближенные вычисления
с помощью полного дифференциала функции двух переменных
Всё будет очень и очень похоже, поэтому, если вы зашли на эту страницу именно этим заданием, то сначала рекомендую просмотреть хотя бы пару примеров предыдущего пункта.
Для изучения параграфа необходимо уметь находить частные производные второго порядка , куда ж без них. На вышеупомянутом уроке функцию двух переменных я обозначал через букву . Применительно к рассматриваемому заданию удобнее использовать эквивалентное обозначение .
Как и для случая функции одной переменной, условие задачи может быть сформулировано по-разному, и я постараюсь рассмотреть все встречающиеся формулировки.
Пример 8
Решение: Как бы ни было записано условие, в самом решении для обозначения функции, повторюсь, лучше использовать не букву «зет», а .
А вот и рабочая формула:
Перед нами фактически старшая сестра формулы предыдущего параграфа. Переменная только прибавилась. Да что говорить, сам алгоритм решения будет принципиально таким же !
По условию требуется найти приближенное значение функции в точке .
Число 3,04 представим в виде . Колобок сам просится, чтобы его съели:
,
Число 3,95 представим в виде . Дошла очередь и до второй половины Колобка:
,
И не смотрите на всякие лисьи хитрости, Колобок есть – надо его съесть.
Вычислим значение функции в точке :
Дифференциал функции в точке найдём по формуле:
Из формулы следует, что нужно найти частные производные первого порядка и вычислить их значения в точке .
Вычислим частные производные первого порядка в точке :
Полный дифференциал в точке :
Таким образом, по формуле приближенное значение функции в точке :
Вычислим точное значение функции в точке :
Вот это значение является абсолютно точным.
Погрешности рассчитываются по стандартным формулам, о которых уже шла речь в этой статье.
Абсолютная погрешность:
Относительная погрешность:
Ответ: , абсолютная погрешность: , относительная погрешность:
Пример 9
Вычислить приближенное значение функции 
в точке с помощью полного дифференциала, оценить абсолютную и относительную погрешность.
Это пример для самостоятельного решения. Кто остановится подробнее на данном примере, тот обратит внимание на то, что погрешности вычислений получились весьма и весьма заметными. Это произошло по следующей причине: в предложенной задаче достаточно велики приращения аргументов: . Общая закономерность такова – чем больше эти приращения по абсолютной величине, тем ниже точность вычислений. Так, например, для похожей точки приращения будут небольшими: , и точность приближенных вычислений получится очень высокой.
Данная особенность справедлива и для случая функции одной переменной (первая часть урока).
Пример 10
Решение
: Вычислим данное выражение приближенно с помощью полного дифференциала функции двух переменных:
Отличие от Примеров 8-9 состоит в том, что нам сначала необходимо составить функцию двух переменных: 
. Как составлена функция, думаю, всем интуитивно понятно.
Значение 4,9973 близко к «пятерке», поэтому: , .
Значение 0,9919 близко к «единице», следовательно, полагаем: , .
Вычислим значение функции в точке :
Дифференциал в точке найдем по формуле:
Для этого вычислим частные производные первого порядка в точке .
Производные здесь не самые простые, и следует быть аккуратным: 
;
.
Полный дифференциал в точке :
Таким образом, приближенное значение данного выражения:
Вычислим более точное значение с помощью микрокалькулятора: 2,998899527
Найдем относительную погрешность вычислений:
Ответ:
, 
Как раз иллюстрация вышесказанному, в рассмотренной задаче приращения аргументов очень малы , и погрешность получилась фантастически мизерной.
Пример 11
С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение данного выражения. Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора. Оценить в процентах относительную погрешность вычислений.
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.
Как уже отмечалось, наиболее частный гость в данном типе заданий – это какие-нибудь корни. Но время от времени встречаются и другие функции. И заключительный простой пример для релаксации:
Пример 12
С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение функции , если 
Решение ближе к дну страницы. Еще раз обратите внимание на формулировки заданий урока, в различных примерах на практике формулировки могут быть разными, но это принципиально не меняет сути и алгоритма решения.
Если честно, немного утомился, поскольку материал был нудноватый. Непедагогично это было говорить в начале статьи, но сейчас-то уже можно =) Действительно, задачи вычислительной математики обычно не очень сложны, не очень интересны, самое важное, пожалуй, не допустить ошибку в обычных расчётах.
Да не сотрутся клавиши вашего калькулятора!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
Используем формулу:
В данном случае: , ,
Таким образом: 
Ответ:
Пример 4: Решение:
Используем формулу:
В данном случае: 
, ,
Тема: «Нахождение
приближенных значений квадратного корня»
Тип урока : ОНЗ, Р
Основные цели:
- научиться находить приближенные значения квадратного корня,
- познакомиться с методами для вычисления корней.
Ход урока
1. Самоопределение к учебной деятельности
Цель этапа: 1) включить учащихся в учебную деятельность;
2) определить содержательные рамки урока: продолжаем работать над квадратными корнями
Организация учебного процесса на этапе 1:
Что сейчас изучаем на уроках алгебры? (Квадратные корни)
А что такое квадратные корни?
– Молодцы! Для успешной работы выполним следующие задания.
2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности
Цель этапа: 1) актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала: нахождение значений квадратного корня;
2) актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала: сравнение, анализ, обобщение;
3) зафиксировать все повторяемые понятия и алгоритмы в виде схем и символов;
4) зафиксировать индивидуальное затруднение в деятельности, демонстрирующее на личностно значимом уровне недостаточность имеющихся знаний: найти значение выражения .
Организация учебного процесса на этапе 2:
1. Вычислите: , , , ,
4. Индивидуальное задание .
Найдите значение выражения ..
3. Выявление причины затруднения и постановка цели деятельности
Цель этапа: 1) организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности: возможность найти значение квадратного корня;
2) согласовать цель и тему урока.
Организация учебного процесса на этапе 3:
– что вам необходимо было сделать?
– Что у вас получилось? (Учащиеся показывают свои варианты:)
– В чём возникло затруднение?
Извлекается √2 нацело?
Нет.
Как будем находить?
Какие знаем способы нахождения корней?
Ребята, видите, не всегда мы имеем дело с числами, легко представимыми в виде квадрата числа, которые извлекаются из- под корня нацело.
– Какую цель мы поставим перед собой?
– Сформулируйте тему урока.
– Запишите тему в тетрадь.
4. Построение проекта выхода из затруднения
Цель этапа: 1) организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;
2) зафиксировать новый способ действия в знаковой, вербальной форме.
Организация учебного процесса на этапе 4:
1 МЕТОД в ычислить √2 с точностью до двух знаков после запятой Будем рассуждать следующим образом.
Число √2 больше 1, так как 1 2 2 больше 2. Следовательно, десятичная запись числа будет начинаться следующим образом: 1,… То есть корень из двух, это единица с чем-то.
Теперь попытаемся отыскать цифру десятых.
Для этого будем дроби от единицы до двойки возводить в квадрат, пока не получим число большее двух.
Шаг деления возьмем 0,1, так как мы ищем число десятых.
Другими словами будем возводить в квадрат числа: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9
1,1 2 =1,21; 1,2 2 =1,44; 1,3 2 =1,69; 1,4 2 =1,96; 1,5 2 =2,25.
Получили число превышающее двойку, остальные числа уже не надо возводить в квадрат. Число 1,4 2 меньше 2, а 1,5 2 уже больше двух, то число √2 должно принадлежать промежутку от 1,4 до 1,5 . Следовательно, десятичная запись числа √2 в разряде десятых должна содержать 4. √2=1,4… .
Иначе говоря, 1,4
1,41 2 =1,9881, 1,42 2 =2,0164.
Уже при 1.42 получаем, что его квадрат больше двух, далее возводить в квадрат числа не имеет смысла.
Из этого получаем, что число √2 будет принадлежать промежутку от 1,41 до 1,42 (1,41
Так как нам необходимо записать √2 с точностью до двух знаков после запятой, то мы уже можем остановиться и не продолжать вычисления.
√2 ≈ 1,41. Это и будет ответом. Если бы необходимо было вычислить еще более точное значение, нужно было бы продолжать вычисления, повторяя снова и снова цепочку рассуждений.
Задание
Вычислите с точностью до двух знаков после запятой
√3 = , √5 = , √6 = , √7 =, √8 =
Вывод Данный прием позволяет извлекать корень с любой заданной наперед точностью.
2 МЕТОД Чтобы узнать целую часть квадратного корня числа, можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, посчитать количество выполненных действий.
Например, найдем √16 так:
- 16 - 1 = 15
- 15 - 3 = 12
- 12 - 5 = 7
- 7 - 7 =0
- Выполнено 4 действия, значит, √16 = 4
Задание Вычислите
√1 = √6 =
√2 = √7 =
√3 = √8 =
√4 = √9 =
√5 = √10 =
Вывод Данный прием удобен тогда, когда корень извлекается нацело
3 МЕТОД Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они представляли в виде суммы а 2 +b,
где а 2 - ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а, и пользовались формулой.
Извлечем с помощью формулы квадратный корень,
Например из числа 28:
Вывод Способ вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня.
5. Первичное закрепление во внешней речи
Цель этапа: зафиксировать изученное учебное содержание во внешней речи.
Организация учебного процесса на этапе 5:
из учебника: №№ 336, 337, 338,339, 343,345
6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.
Цель этапа: проверить своё умение применять алгоритм сложения и вычитания в типовых условиях на основе сопоставления своего решения с эталоном для самопроверки.
Организация учебного процесса на этапе 6:
№№ 338 (а), 339 (в, г)
После проверки по эталону анализируются и исправляются ошибки.
7. Включение в систему знаний и повторение
Цель этапа: 1) тренировать навыки использования нового содержания совместно с ранее изученным;
Организация учебного процесса на этапе 7:
1 группа (средн) "№№ ______________
2 группа (высок) №№ _________________
8. Рефлексия деятельности на уроке
1) зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;
2) оценить собственную деятельность на уроке;
3) поблагодарить одноклассников, которые помогли получить результат урока;
4) зафиксировать неразрешённые затруднения как направления будущей учебной деятельности;
5) обсудить и записать домашнее задание.
Организация учебного процесса на этапе 8:
– С чем мы познакомились сегодня на уроке?
– Что мы научились сегодня выполнять?
– Проанализируйте свою деятельность на уроке и дайте своей работе оценку.
Домашнее задание №№ 344 , 346, 351
При решение задач, связанных с вычислениями, получаются числовые результаты, которые часто не являются точными, т.к. при постановке задачи и в ходе вычислений возникают погрешности.
Источниками погрешностей являются:
1) погрешности исходных данных;
2) погрешности округления промежуточных и окончательных результатов;
3) погрешности приближенного метода решения задачи.
При выполнении действий над приближенными числами надо:
1) зная точность исходных данных, уметь оценивать точность результата;
2) брать исходные данные с такой точностью, чтобы обеспечить заданную точность результата.
2.1 Погрешности приближенных чисел
Пусть число х является точным значением, а число а - приближенным значением некоторой величины.
Определение. Разность между числом x и его приближенным значением а называется погрешностью приближенного числа а: Δ = |х-а |.
Пусть х=10,5, а=10, тогда Δ=10,5-10=0,5.
Пусть х=9,5, а=10, тогда Δ=9,5-10=-0,5.
Определение. Абсолютная величина разности между числом x и его приближенным значением а называется абсолютной погрешностью приближенного числа а: Δа = |х-а|
Пусть х=10,5, а=10, тогда Δа =|10,5-10|=0,5.
Пусть х=9,5, а=10, тогда Δa=|9,5-10|=0,5.
Часто точное число х неизвестно. Тогда нельзя найти Δа = |х-а|, поэтому используют оценку абсолютной погрешности - предельную абсолютную погрешность Δ а ≥ Δа =x-а|. При этом число х заключено в границах:
а - Δ а х а + Δ а или кратко: х = а ± Δ а.
Читают: х равно а с точностью Δ а.
Для того, чтобы определить качество производимых вычислений, надо определить, какую долю составляет абсолютная погрешность от измеряемой величины. Для этого используют относительную погрешность.
Определение. Относительной погрешностью δа приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности Δа к модулю числа х:
или
.
Оценкой относительной
погрешности ба является предельная
относительная погрешность:
Пример. Дано число х=0,4287 и его приближенное значение а=0,4264. Найти абсолютную и относительную погрешности числа а.
Решение. Вычислим абсолютную погрешность числа а:
Δа=|0,4287- 0,4264| = 0,0023.
Вычислим относительную погрешность числа а:
или
5,4%.
Замечания. 1. При записи погрешности принято оставлять 1-2 значащих цифры. Погрешности всегда округляют в сторону увеличения. При этом границы точного числа х расширяются.
2. Если число х неизвестно, то при нахождении относительной погрешности используют число а.
3. Относительную погрешность часто выражают в процентах, домножая ее на 100%.
2.2. Значащие и верные цифры приближенного числа
Для оценки точности приближенного числа а принято записывать его в виде десятичной дроби. Точность вычислений определяется не числом десятичных знаков (цифр после запятой), а числом верных значащих цифр результата.
Определение. Значащими цифрами числа а называются все его цифры, кроме нулей, записанных перед первой цифрой, отличной от нуля, и нули в конце записи, если они служат для сохранения разряда или точности числа.
Пример. Определить значащие цифры числа а.
а = 0,02701 => значащие цифры: 2,7,0,1.
а = 0,0270 => значащие цифры: 2,7,0.
а = 2700 => значащие цифры: 2,7,0,0.
Определение. Цифра α i приближенного числа а называется верной значащей цифрой в широком смысле (в строгом смысле), если предельная абсолютная погрешность числа а не превышает единицы (половины единицы) разряда, в котором записана цифра α i: Δ а 10 i (Δ а 0,5∙10 i).
Пример. Определить верные цифры приближенного числа а=0,7264, если абсолютная погрешность Δ а =0,0023.
Решение. Абсолютная погрешность Δ а =0,0023 0,005 = 0,5∙10 -2 . Следовательно, цифры 7 и 2 - верные в строгом смысле, цифры 6 и 4 – неверные (сомнительные). Так как Δ а = 0,0023 < 0,01 = 10 -2 , то цифры 7 и 2 являются верными в широком смысле.
Замечания. 1. В математических таблицах все значащие цифры являются верными в строгом смысле.
2. В окончательном результате принято оставлять только верные цифры. Тогда предельная абсолютная погрешность числа а определяется по единице младшего разряда. Например, пусть а=127,38, тогда Δ а =0,01, если все цифры являются верными в строгом смысле, и Δ а = 0,5∙ 0,01 = 0,005, если все цифры являются верными в широком смысле.
Пример.
Определить, какое равенство точнее
13/19=0,684 или
=7,21?
Решение.
Обозначим а =0,684, в =7,21. Найдем абсолютные
погрешности этих чисел. Для этого возьмем
13/19 и
с большим числом десятичных знаков:
13/39=0,68421...,
=7,2111...
Тогда Δ а =|0,68421...-0,684| < 0,00022, Δ в = |7,2111...-7,21| < 0,0012.
Найдем относительные погрешности:
или
0,033%.
или
0,017%.
Второе равенство более
точное, так как
.
2.3. Округление чисел
В приближенных вычислениях часто приходится округлять числа как приближенные, так и точные, т. е. отбрасывать одну или несколько последних цифр. При округлении числа мы заменяем его приближенным числом с меньшим количеством значащих цифр, в результате чего возникает погрешность округления. Чтобы эта погрешность была минимальной, нужно придерживаться некоторых правил округления.
Правило I . Если первая слева из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя из сохраняемых цифр усиливается, т.е. увеличивается на единицу. Усиление производится и тогда, когда первая слева из отбрасываемых цифр равна 5, а за ней следуют отличные от нуля цифры.
Пример. Округляя до десятых долей число 73,473, получим 73,5. Последняя из оставшихся цифр усилена, так как 7 > 5.
Правило II . Если первая из отброшенных цифр меньше 5, то последняя из оставшихся цифр не усиливается, т. е. остается без изменения.
Пример. Округляя до сотых долей число 73,473, получим 73,47.
Правило III . Если первая слева из отброшенных цифр равна 5 и за ней не следуют отличные от нуля цифры, то последняя оставшаяся цифра усиливается, если она нечетная, и остается без изменения, если она четная (правило четной цифры).
Пример. Округляя число 5,785 до сотых долей, получаем 5,78. Усиления не делаем, так как последняя сохраняемая цифра 8 - четная. Округляя число 5,775 до второго десятичного знака, имеем 5,78. Последняя сохраняемая цифра 7 увеличивается на единицу, поскольку она нечетная.
При применении правила III к округлению одного числа мы фактически не увеличиваем точность вычислений, однако при многочисленных округлениях избыточные числа встречаются примерно так же часто, как и недостаточные. Происходит взаимная компенсация погрешностей, результат оказывается более точным.
Таким образом, при применении выше рассмотренных правил округления абсолютная погрешность округления не превосходит половины единицы разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой.
Если точное число х округляется до n значащих цифр, то получаемое приближенное число а имеет абсолютную погрешность, равную погрешности округления. В этом случае приближенное число а имеет n верных значащих цифр в узком смысле.
Пример. Округляя число х=26,837 до трех значащих цифр, получим а =26,8, откуда Δ а = |х-а | = | 26,837-26,8 |=0,037 < 0,05, т. е. число а имеет три верные значащие цифры в узком смысле.
При округлении приближенного числа a получаем новое приближенное число а 1 .
Определение. Число Δ а1 = Δ а +Δ окр называется погрешностью округления.
Абсолютная погрешность числа a 1 складывается из абсолютной погрешности первоначального числа Δ а и погрешности округления Δ окр, т. е.
Δ а1 = Δ а +Δ окр.
Пример. Округлить сомнительные цифры числа х=34,124 ± 0,021. Определить абсолютную погрешность результата.
Решение. Приближенное число a=34,124 имеет три верные цифры в узком смысле: 3, 4, 1, так как Δ а =0,021 < 0,05. Применяя правила округления, найдем приближенное значение а 1 , сохранив десятые доли: а 1 = 34,1. Погрешность округления Δ окр =|34,124-34,1|=0,024. Тогда абсолютная погрешность числа а 1 равна Δ а1 =Δ а +Δ окр =0,021+0,024 = 0,045 < 0,05.
Таким образом, все значащие цифры числа а 2 верные (в узком смысле).
Итак, х=34,1 ±0,045.
Однако при округлении приближенного числа а, имеющего n верных значащих цифр (в узком смысле), до n значащих цифр может оказаться, что округленное число а 1 будет иметь n верных значащих цифр в широком смысле.
Пример. Приближенное число a=15,3654 (± 0,0018) имеет четыре верные значащие цифры в узком смысле (1, 5, 3, 6), так как Δ а =0,0018 < 0,005. При округлении до четырех значащих цифр получим а 1 = 15,37 и Δ а1 =Δ а +Δ окр =0,0018+|15,3654-15,37|=0,0064.
Очевидно, что 0,005 < 0,0064 < 0,01. Следовательно, число 15,37 (± 0,0064) имеет четыре верные цифры в широком смысле.
Итак, х=15,37 ±0,0064.
Пример. Округлить сомнительные цифры числа а=26,7245 (± 0,0026), оставив верные знаки в узком смысле. Определить абсолютную погрешность результата.
Решение. По условию Δ а = 0,0026 < 0,005, следовательно, в числе 26,7245 верными в узком смысле являются цифры 2, 6, 7, 2. Используя правила округления, найдем приближенное значение а 1 , сохранив сотые доли:
Полученная погрешность больше 0,005 (0,005 < 0,0071), поэтому уменьшим число цифр в приближенном числе до трех; а 2 = 26,7. Находим Δ а2 = =Δ а +Δ окр =0,0026+|26,7245-26,7|=0,0271< 0,05. Следовательно, оставшиеся три цифры верны в узком смысле.
Итак, х=26,7 ±0,0271 => х=26,7 ±0,03, округляя погрешность до двух знаков.
Пример. Округлить сомнительные цифры числа а=22,7314, оставив верные знаки в узком смысле. Определить абсолютную погрешность числа, если δ а = 0,2%.
Решение. Запишем δ а в виде десятичной дроби: δа=0,002 и определим абсолютную погрешность . Так какΔ а = =0,0455 < 0,05, то верными в этом числе будут три цифры: 2, 2, 7. Округлим число 22,7314, сохранив в нем десятые доли: а 1 = 22,73. Тогда Δ а1 = =Δ а +Δ окр =0,0455+|22,7314-22,73|=0,0769>0,05, поэтому уменьшим число цифр в приближенном числе до двух: а 2 =23. Находим Δ а2 = =Δ а +Δ окр =0,0455+|22,7314-23|=0,3141< 0,05. Следовательно, оставшиеся две цифры верны в узком смысле.
Итак, х=23 ±0,3141 => х=23 ±0,32.
2.3. Правила действий над приближенными числами
Правило 1. Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей этих чисел:
Δ а±в =Δ а + Δ в
Правило 2. Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел равна сумме относительных погрешностей этих чисел:
δ ав = δ а +δ в.
Правило 3. Относительная погрешность частного приближенных чисел равна сумме относительных этих чисел: δ а/в = δ а +δ в.
Правило 4. Относительная погрешность степени приближенного числа а равна: δa n = nδ а.
Правило 5.
Относительная погрешность корня из
приближенного числа а равна:
.
Правило 6. При вычислениях, если не проводится строгий подсчет погрешностей, рекомендуется пользоваться правилами подсчета цифр. Эти правила указывают, как следует проводить округление результатов, чтобы обеспечить заданную точность результата и при этом не производить вычислений с лишними знаками.
Правила предполагают, что числа, над которыми производятся действия, содержат только верные цифры, и число действий невелико.
I. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранить столько десятичных знаков, сколько их в числе, имеющем наименьшее число десятичных знаков.
II. При умножении и делении в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в числе с наименьшим числом значащих цифр.
III. При возведении приближенного числа в степень в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в основании степени.
IV. При извлечении корня из приближенного числа следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в подкоренном числе.
V. В промежуточных результатах следует сохранять на 1-2 цифры больше, чем рекомендуют правилах I-IV. В окончательном результате "запасные цифры" отбрасываются с округлением числа.
VI. Если некоторые исходные данные имеют больше десятичных знаков (при сложении и вычитании) или больше значащих цифр (при других действиях), чем другие, то их предварительно следует округлить, сохраняя лишь одну "эапасную цифру".
VII. Для получения результата с N верными цифрами исходные данные следует брать с таким числом цифр, которые согласно предыдущим правилам обеспечивают N+1 цифру в результате.
Пример. Найдем s=2,35+11,8 без учета погрешностей. Применяя правило I, получим s=14,15. Результат округлим по числу 11,8 с наименьшим количеством десятичных знаков. Получим: s =14,2.
Решим задачу с учетом погрешностей. В числе s=14,15 надо оставить только верные цифры. Для этого найдем предельную абсолютную погрешность суммы s, используя правило 1. Учитывая, что все цифры в числах 2,35 и 11,8 являются верными, получим: Δ 14,15 =Δ 2,35 +Δ 11,8 =0,01+0,1=0,11 < 0,5. Последняя верная цифра в числе 14,15 находится в разряде единиц. Поэтому число s=14,15 надо округлить: s=14 и найти абсолютную погрешность округленного числа. Погрешность округления равна: |14,15-14|=0,15. Тогда абсолютная погрешность округленного числа Δ 14 =0,11+0,15=0,26 <0,5. Окончательный результат примет вид: s=14 ± 0,26.
Аналогично решаются задачи при выполнении других действий над приближенными числами.
ГУ « Средняя общеобразовательная школа №5 им. Бауыржана Момышулы»
отдела образования акимата г. Костаная
ПЛАН-КОСПЕКТ УРОКА
ФИО (полностью) Пластун Сергей Владимирович
Предмет алгебра
Класс 8А-8б-1
Дата 23.09.17
Источники Алматы «Мектеп-2016»
Базовый учебник
Дополнительная литература
Нахождение приближенных значений квадратного корня.
1. Цель урока: познакомить учащихся с понятием « приближенное значение квадратного корня» и научить применять это понятие на практике.
Задачи:
Образовательные:
-научить находить приближенные значения квадратного корня;
-выработка умений рассуждать, четко формулировать правила, приводить примеры, применять свои знания и умения на практике.
корень, приводить и находить значения арифметического квадратного корня.
Развивающие:
-развивать у учащихся навык решения заданий на данную тему;
-развивать мыслительную деятельность учащихся.
Воспитательные:
- воспитывать внимательность, активность, ответственность.
2. Тип урока: комбинированный .
3. Формы работы с учащимися: фронтальная, индивидуальная.
4. Необходимое техническое оборудование.
5. Наглядные пособия, дидактические материалы, используемые на уроке.
6. Структура и ход урока.
СТРУКТУРА И ХОД УРОКА
Ход урока
1. Организационный момент .
Проверка готовности класса к уроку. Приветствие.
2. Проверка домашнего задания.
3. Повторение ранее изученного материала.
Начнем с повторения. Устная работа
Давайте вспомним, что такое квадратный корень (Квадратным корнем из неотрицательного числа а называется число, квадрат которого равен а).
(Арифметический квадратный корень) Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b , квадрат которого равен а.
Арифметический квадратный корень из числа а обозначается так:. Знак 
называется знаком арифметического квадратного корня, или радикалом, а –подкоренным выражением. Выражение читается так: «Арифметический квадратный корень из числа а».
По определению арифметического корня равенство 
выполняется при условии, когда 
.
4. Изучение нового материала.
1. Вычислите: 25 , 16, 9, 81,
Найдите значение выражения √2
- Что вам необходимо было сделать?
Что у вас получилось? (Учащиеся показывают свои варианты:)
В чём возникло затруднение?
Извлекается √2 нацело?
Как будем находить?
Какие знаем способы нахождения корней?
Ребята, видите, не всегда мы имеем дело с числами, легко представимыми в виде квадрата числа, которые извлекаются из- под корня нацело
1 МЕТОД вычислить √2 с точностью до двух знаков после запятой Будем рассуждать следующим образом.
Число √2 больше 1, так как 1 2 < 2. В тоже время, число √2 < 2, так как 2 2 больше 2. Следовательно, десятичная запись числа будет начинаться следующим образом: 1,… То есть корень из двух, это единица с чем-то.
1< √2 < 2.
Теперь попытаемся отыскать цифру десятых.
Для этого будем дроби от единицы до двойки возводить в квадрат, пока не получим число большее двух.
Шаг деления возьмем 0,1, так как мы ищем число десятых.
Другими словами будем возводить в квадрат числа: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9
1,1 2 =1,21; 1,2 2 =1,44; 1,3 2 =1,69; 1,4 2 =1,96; 1,5 2 =2,25.
Получили число превышающее двойку, остальные числа уже не надо возводить в квадрат. Число 1,4 2 меньше 2, а 1,5 2 уже больше двух, то число √2 должно принадлежать промежутку от 1,4 до 1,5 . Следовательно, десятичная запись числа √2 в разряде десятых должна содержать 4. √2=1,4… .
1,41 2 =1,9881, 1,42 2 =2,0164.
Уже при 1.42 получаем, что его квадрат больше двух, далее возводить в квадрат числа не имеет смысла.
Из этого получаем, что число √2 будет принадлежать промежутку от 1,41 до 1,42 (1,41< √2<1,42)
Так как нам необходимо записать √2 с точностью до двух знаков после запятой, то мы уже можем остановиться и не продолжать вычисления.
√2 ≈ 1,41. Это и будет ответом. Если бы необходимо было вычислить еще более точное значение, нужно было бы продолжать вычисления, повторяя снова и снова цепочку рассуждений.
Задание
Вычислите с точностью до двух знаков после запятой
√3 = , √5 = , √6 = , √7 =, √8 =
Вывод Данный прием позволяет извлекать корень с любой заданной наперед точностью.
2 МЕТОД Чтобы узнать целую часть квадратного корня числа, можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, посчитать количество выполненных действий.
Например, найдем √16 так:
Выполнено 4 действия, значит, √16 = 4
Задание. Вычислите
√1 √6
