Способы определения вероятности попадания. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок. Независимые испытания и формула бернулли

Поэтому ваше ближайшее времяпровождение будет крайне полезным. Кроме того, я расскажу, в чём заблуждается подавляющее большинство участников лотерей и азартных игр. …Нееет, вера или слабая надежда «сорвать куш» тут совершенно не при чём;-) Не успев и глазом моргнуть, погружаемся в тему:

Что такое независимые испытания ? Практически всё понятно уже из самого названия. Пусть производится несколько испытаний. Если вероятность появления некоего события в каждом из них не зависит от исходов остальных испытаний, то… заканчиваем фразу хором =) Молодцы. При этом под словосочетанием «независимые испытания» часто подразумевают повторные независимые испытания – когда они осуществляются друг за другом.

Простейшие примеры:
– монета подбрасывается 10 раз;
– игральная кость подбрасывается 20 раз.

Совершенно ясно, что вероятность выпадения орла либо решки в любом испытании не зависит от результатов других бросков. Аналогичное утверждение, естественно, справедливо и для кубика.

А вот последовательное извлечение карт из колоды не является серией независимых испытаний – как вы помните, это цепочка зависимых событий . Однако если карту каждый раз возвращать обратно, то ситуация станет «такой, какой надо».

Спешу обрадовать – у нас в гостях очередной Терминатор, который абсолютно равнодушен к своим удачам/неудачам, и поэтому его стрельба представляет собой образец стабильности =):

Задача 1

Стрелок совершает 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле постоянна и равна . Найти вероятность того, что:

а) стрелок попадёт только один раз;
б) стрелок попадёт 2 раза.

Решение : условие сформулировано в общем виде и вероятность попадания в мишень при каждом выстреле считается известной . Она равна (если совсем тяжко, присвойте параметру какое-нибудь конкретное значение, например, ) .

Коль скоро, мы знаем , то легко найти вероятность промаха в каждом выстреле:
, то есть, «ку» – это тоже известная нам величина .

а) Рассмотрим событие «Стрелок попадёт только один раз» и обозначим его вероятность через (индексы понимаются как «одно попадание из четырёх») . Данное событие состоит в 4 несовместных исходах: стрелок попадёт в 1-й или во 2-й или в 3-й или в 4-й попытке.

Найти вероятность того, что при броске 10 монет орёл выпадет на 3 монетах.

Здесь испытания не повторяются, а скорее, производятся одновременно, но, тем не менее, работает та же самая формула: .

Решение будет отличаться смыслом и некоторыми комментариями, в частности:
способами можно выбрать 3 монеты, на которых выпадет орёл.
– вероятность выпадения орла на каждой из 10 монет
и т.д.

Однако на практике подобные задачи встречаются не столь часто, и, видимо, по этой причине формула Бернулли чуть ли не стереотипно ассоциируется только с повторными испытаниями. Хотя, как только что было показано, повторяемость вовсе не обязательна.

Следующая задача для самостоятельного решения:

Задача 3

Игральную кость бросают 6 раз. Найти вероятность того, что 5 очков:

а) не выпадут (выпадут 0 раз) ;
б) выпадут 2 раза;
в) выпадут 5 раз.

Результаты округлить до 4 знаков после запятой.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Очевидно, что в рассматриваемых примерах некоторые события более вероятны, а некоторые – менее вероятны. Так, например, при 6 бросках кубика даже безо всяких расчётов интуитивно понятно, что вероятности событий пунктов «а» и «бэ» значительно больше вероятности того, что «пятёрка» выпадет 5 раз. А теперь поставим задачу найти

НАИВЕРОЯТНЕЙШЕЕ число появлений события в независимых испытаниях

Опять же на уровне интуиции в Задаче №3 можно сделать вывод о том, что наивероятнейшее количество появлений «пятёрки» равно единице – ведь всего граней шесть, и при 6 бросках кубика каждая из них должна выпасть в среднем по одному разу. Желающие могут вычислить вероятность и посмотреть, будет ли она больше «конкурирующих» значений и .

Сформулируем строгий критерий : для отыскания наивероятнейшего числа появлений случайного события в независимых испытаниях (с вероятностью в каждом испытании) руководствуются следующим двойным неравенством:

, причём:

1) если значение – дробное, то существует единственное наивероятнейшее число ;
в частности, если – целое, то оно и есть наивероятнейшее число: ;

2) если же – целое, то существуют два наивероятнейших числа: и .

Наивероятнейшее число появлений «пятёрки» при 6 бросках кубика подпадает под частный случай первого пункта:

В целях закрепления материала решим пару задач:

Задача 4

Вероятность того, что при броске мяча баскетболист попадёт в корзину, равна 0,3. Найти наивероятнейшее число попаданий при 8 бросках и соответствующую вероятность.

А это уже если и не Терминатор, то, как минимум, хладнокровный спортсмен =)

Решение : для оценки наивероятнейшего числа попаданий используем двойное неравенство . В данном случае:

– всего бросков;
– вероятность попадания в корзину при каждом броске;
– вероятность промаха при каждом броске.

Таким образом, наивероятнейшее количество попаданий при 8 бросках находится в следующих пределах:

Поскольку левая граница – дробное число (пункт №1) , то существует единственное наивероятнейшее значение, и, очевидно, что оно равно .

Используя формулу Бернулли , вычислим вероятность того, что при 8 бросках будет ровно 2 попадания:

Ответ : – наивероятнейшее количество попаданий при 8 бросках,
– соответствующая вероятность.

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Задача 5

Монета подбрасывается 9 раз. Найти вероятность наивероятнейшего числа появлений орла

Примерный образец решения и ответ в конце урока.

После увлекательного отступления рассмотрим ещё несколько задач, а затем я поделюсь секретом правильной игры в азартные игры и лотереи.

Задача 6

Среди изделий, произведенных на станке-автомате, в среднем бывает 60% изделий первого сорта. Какова вероятность того, что среди 6 наудачу отобранных изделий будет:

а) от 2 до 4 изделий первого сорта;
б) не менее 5 изделий первого сорта;
в) хотя бы одно изделие более низкого сорта.

Вероятность производства первосортного изделия не зависит от качества других выпущенных изделий, поэтому здесь идёт речь о независимых испытаниях. Старайтесь не пренебрегать анализом условия, а то может статься – события-то зависимые или задача вообще о другом.

Решение : вероятность зашифрована под проценты, которые, напоминаю, нужно разделить на сто: – вероятность того, что выбранное изделие будет 1-го сорта.
Тогда: – вероятность того, что оно не будет первосортным.

а) Событие «Среди 6 наудачу отобранных изделий будет от 2 до 4 изделий первого сорта» состоит в трёх несовместных исходах:

среди изделий будет 2 первосортных или 3 первосортных или 4 первосортных.

С исходами удобнее разделаться по отдельности. Трижды используем формулу Бернулли :

– вероятность того, что в течение дня безотказно будут работать, как минимум, 5 компьютеров из шести.

Данное значение нас тоже не устроит, так как оно меньше требуемой надёжности работы вычислительного центра:

Таким образом, шести компьютеров тоже не достаточно. Добавляем ещё один:

3) Пусть в вычислительном центре компьютеров. Тогда безотказно должны работать 5, 6 или 7 компьютеров. Используя формулу Бернулли и теорему сложения вероятностей несовместных событий , найдём вероятность того, что в течение дня безотказно будут работать, как минимум, 5 компьютеров из семи.

При решении практических задач, связанных со случайными величинами, часто оказывается необходимым вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в некоторых пределах, например, от до . Это событие мы будем называть «попаданием случайной величины на участок от до ».

Условимся для определенности левый конец включать в участок , а правый – не включать. Тогда попадание случайной величины на участок равносильно выполнению неравенства:

Выразим вероятность этого события через функцию распределения величины . Для этого рассмотрим три события:

событие А, состоящее в том, что ;

событие В, состоящее в том, что ;

событие С, состоящее в том, что .

Учитывая, что , по теореме сложения вероятностей имеем:

т.е. вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна приращению функции распределенияна этом участке.

Будем неограниченно уменьшать участок , полагая, что . В пределе вместо вероятности попадания на участок получим вероятность того, что величина примет отдельно взятое значение :

Значение этого предела зависит от того, непрерывна ли функция в точке или же терпит разрыв. Если в точке функция имеет разрыв, то предел (5.3.2.) равен значению скачка функции в точке . Если же функция в точке непрерывна, то этот предел равен нулю.

В дальнейшем изложении мы условимся называть «непрерывными» только те случайные величины,функция распределения которых везде непрерывна. Имея это в виду, можно сформулировать следующее положение:

Вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Остановимся на этом положении несколько подробнее. В данном курсе мы уже встречались с событиями, вероятности которых были равны нулю: это были невозможные события. Теперь мы видим, что обладать нулевой вероятностью могут не только невозможные, но и возможные события. Действительно, событие , состоящее в том, что непрерывная случайная величина примет значение , возможно, однако вероятность его равна нулю. Такие события – возможные, но с нулевой вероятностью – появляются только при рассмотрении опытов, не сводящихся к схеме случаев.

Понятие о событии «возможном, но обладающем нулевой вероятностью» кажется на первый взгляд парадоксальным. В действительности оно не более парадоксально, чем представление о теле, имеющем определенную массу, тогда как ни одна из точек внутри тела определенной конечной массой не обладает. Сколь угодно малый объем, выделенный из тела, обладает определенной конечной массой; эта масса приближается к нулю по мере уменьшения объема и в пределе равна нулю до точки. Аналогично при непрерывномраспределении вероятностей вероятность попадания на сколь угодно малый участок может быть отлична от нуля, тогда как вероятность попадания в строго определенную точку в точности равна нулю.

Если производится опыт, в котором непрерывная случайная величина должна принять одно из своих возможных значений, то до опыта вероятность каждого из таких значений равна нулю; однако в исходе опытаслучайная величина непременно примет одно из своих возможных значений, т. е. заведомо произойдет одно из событий, вероятности которых были равны нулю.

Из того, что событие имеет вероятность, равную нулю, вовсе не следует, что это событие не будет появляться, т.е. что частота этого события равна нулю. Мы знаем, что частота события при большом числе опытов не равна, а только приближается к вероятности. Из того, что вероятность события равна нулю, следует только, что при неограниченном повторении опыта это событие будет появляться сколь угодно редко.

Если событие в данном опыте возможно, но имеет вероятность, равную нулю, то противоположное ему событие имеет вероятность, равную единице, но недостоверно. Для непрерывной случайной величины при любом событие имеет вероятность, равную единице, однако это событие не достоверно. Такое событие при неограниченном повторении опыта будет происходить почти всегда, но не всегда.

В n° 5.1 мы познакомились с «механической» интерпретацией прерывной случайной величины как распределения единичной массы, сосредоточенной в нескольких изолированных точках на оси абсцисс. В случае непрерывной случайной величины механическая интерпретация сводится к распределению единичной массы не по отдельным точкам, а непрерывно по оси абсцисс, причем ни одна точка не обладает конечной массой.

Плотность распределения

Пусть имеется непрерывная случайная величина с функцией распределения , которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от до :

т.е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать к нулю. В пределе получим производную от функции распределения:

. (5.4.1)

Введем обозначение:

Функция - производная функции распределения – характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе – «плотность вероятности») непрерывной случайной величины .

Термины «плотность распределения», «плотность вероятности» становятся особенно наглядными при пользовании механической интерпретацией распределения; в этой интерпретации функция буквально характеризует плотность распределения масс по оси абсцисс (так называемую «линейную плотность»). Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения (рис. 5.4.1).

Плотность распределения, так же как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения. В противоположность функции распределения эта форма не является универсальной: она существует только длянепрерывных случайных величин.

Рассмотрим непрерывную случайную величину с плотностью распределения и элементарный участок , примыкающий к точке (рис. 5.4.2). Вероятность попадания случайной величины на этот элементарный участок (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна . Величина называется элементом вероятности. Геометрически это есть площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок (рис. 5.4.2).

Выразим вероятность попадания величины на отрезок от до (рис 5.4.3) через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем этом участке, т.е. интегралу:

(5.4.3)

*) Так как вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю, то можно рассматривать здесь отрезок , не включая в него левый конец, т.е. отбрасывая знак равенства в .

Геометрически вероятность попадания величины на участок равна площади кривой распределения, опирающейся на этот участок (рис. 5.4.3.).

Формула (5.4.2.) выражает плотность распределения через функцию распределения. Зададимся обратной задачей: выразить функцию распределения через плотность. По определению

откуда по формуле (5.4.3) имеем:

. (5.4.4)

Геометрически есть не что иное, как площадь кривой распределения, лежащая левее точки (рис. 5.4.4).

Укажем основные свойства плотности распределения.

1. Плотность распределения есть неотрицательная функция:

Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения есть неубывающая функция.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

Это следует из формулы (5.4.4) и из того, что .

Геометрически основные свойства плотности распределения означают, что:

1) вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;

2) полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Выясним размерность основных характеристик случайной величины – функции распределения и плотности распределения. Функция распределения , как всякая вероятность, есть величина безразмерная. Размерность плотности распределения , как видно из формулы (5.4.1), обратна размерности случайной величины.

Способы определения вероятности попадания

107. Вероятность попадания в цель может быть оп­ределена сравнением площади цели с площадью сердцевины рассеивания, по шкале рассеивания, по таблице значений вероятностей и по сетке рассеивания.

При стрельбе автоматическим огнем (очередями) для вычисления вероятности попадания берутся характери­стики суммарного рассеивания.

108. Если цель по своим размерам равна сердцевине рассеивания или меньше ее, то вероятность попадания в цель определяется приближенно сравнением площади цели с площадью сердцевины рассеивания. При этом до­пускается, что рассеивание пуль в пределах сердцевины равномерное.

Вероятность попадания в цель будет во столько раз меньше вероятности попадания в сердцевину, во сколько раз площадь цели меньше площади сердцевины, т. е. р=0,50 х Sa/Св х Сб

где р

0,50, или 50% - вероятность попадания в сердце­вину;

Св и Сб - сердцевинные полосы соответст­венно по высоте и боковому на­правлению; S n - площадь цели.

Пример. Определить вероятность попадания в грудную фигуру (залегший стрелок) при стрельбе очередями из ручного пулемета Калашникова на 200 м, если средняя траектория пройдет через середину цели.

Решение. 1. Из таблицы находим: Се=0,50 м, Сб=0,50 м; из приложения 4, таблица 6 площадь цели S n = 0,20 м 2 .

2. Определяем вероятность попадания в цель:

р = 0,50 -77Т7- = 0,50 „ РП я ея = 0,40, или 40%

(0,50 - вероятность попадания в сердцевину).

Пример показывает, что если произвести большое число выстре­лов в возможно одинаковых условиях, то в среднем на каждые 100 выстрелов придется 40 попаданий и 60 промахов, или в среднем на один выстрел приходится 0,40 попадания.

109. Если в каком-либо направлении цель по своим размерам больше сердцевины рассеивания, то вероят­ность попадания в нее может быть определена по шкале рассеивания. При этом вероятность попадания в цель определяется как произведение вероятности попадания в полосу, равную высоте (глубине) цели:

где р - вероятность попадания в цель;

рв - вероятность попадания в полосу, равную высоте цели;

рб - вероятность попадания в полосу, равную шири­не цели.

Для определения вероятности попадания в полосу, равную высоте (ширине) цели, необходимо: вычертить в произвольном масштабе цель и на ней в том же мас­штабе шкалу рассеивания, например, по высоте; подсчи­тать по шкале рассеивания процент попаданий, приходя­щийся в полосу, равную высоте цели; вычертить на цели шкалу рассеивания по боковому направлению и также подсчитать по ней процент попаданий в полосу, равную ширине цели.

При расчетах по шкале рассеивания с масштабом в одно срединное отклонение допускают, что рассеивание равномерно в пределах полосы, равной по ширине одно­му срединному отклонению.

Если цель не является прямоугольником, а имеет фи­гурное очертание, то сначала по шкале рассеивания оп­ределяется вероятность попадания в прямоугольник, описанный вокруг фигурной цели. Затем полученную ве­роятность умножают на коэффициент фигурности, рав­ный отношению площади цели к площади описанного во­круг цели прямоугольника, т. е.

где К - коэффициент фигурности.

При применении коэффициента фигурности допускают, что рассеивание в пределах описанного вокруг цели пря­моугольника равномерно. Это. допущение приводит к ошибке, которая тем больше, чем больше размеры цели по отношению к площади рассеивания. При определении вероятности попадания в фигурную цель коэффициент фигурности можно применять только в тех случаях, ког­да размеры цели меньше размеров полного рассеивания.

Примечание. Для более точных расчетов коэффициент фигурности определяется как отношение вероятности попадания в цель к вероятности попадания в прямоугольник, описанный вокруг цели.

Значения коэффициента фигурности для различных целей даны в приложении 4, таблица 6.

Пример. Определить вероятность попадания в пулемет против­ника при стрельбе из ручного пулемета Дегтярева из положения стоя из окопа на расстояние 300 м, если средняя траектория пройдет через середину цели.

Решение. 1. По таблицам и приложению 4 находим: Вв сум - 0,21 м, Вб сум = 0,29 м, высота цели равна 0,55 м, ширина 0,75 м, коэффициент фигурности К - 0,75.

2. Определяем вероятность попадания в_ полосу, равную высоте цели (рв), для чего:

а) вычерчиваем в произвольном масштабе цель и накладываем на нее (вычерчиваем на ней) в том же масштабе шкалу рассеивания по высоте (Рис. 46);

Рис. 48. Определение вероятности по­падания по шкале рассеивания в по­лосу, равную высоте цели

б) подсчитываем по шкале рассеивания процент попадания в ту часть шкалы, которой накрывается цель; по одну сторону центра рассеивания цель накрывается полосой, включающей 25% попаданий, и частью полосы, включающей 16% попаданий.

Для определения процента попаданий в эту часть полосы, рав­ную

Следовательно, часть шкалы рассеивания, накрывающая половину цели, включает в себя 6,5 см (27,5-21), составляем пропорцию: Тогда вероятность попадания в полосу, равную высоте цели, будет вдвое больше, т. е.

р в = 30»/о + 30% = 60°/о, или 0,60.

3. Определяем вероятность попадания в полосу, равную ширине
цели (рб), для чего:

а) накладываем на цель шкалу рассеивания по боковому направлению;

б) подсчитываем по шкале рассеивания процент попаданий, который равен:

Рб = (25»/о + 5°/о) 2 = 6О»/о, или 0,60.

4. Определяем вероятность попадания в цель:

р = рв-Рб-^С = 0,60-0,60-0,75 = 0,27, или 27»/о.

Для удобства определения вероятности попадания иногда фигурную цель заменяют равновеликим прямо­угольником, стороны которого соответственно равны произве­дению ширины (высоты) ми­шени на корень квадратный из коэффициента- * фигурности (Рис. 47).

Приведенные размеры цели даны в приложении 4, табли­ца 6. Найденную вероятность попадания в такой прямоуголь­ник принимают за вероятность попадания в фигурную цель.

ПО. Для более точного оп­ределения вероятности по­падания в цель пользуются таблицей значений вероятно­стей (шкалой рассеивания), рассчитанной с учетом не­равномерности рассеивания через каждую десятую или сотую и т. д. долю срединного отклонения (приложе­ние 4, таблица 1). При этом допускают, что рассеивание равномерно только в пределах полосы по ширине, рав­ной десятой, сотой и т. д. доле срединного отклонения.

Для определения вероятности попадания по таблице значений вероятностей необходимо:

В графе В найти цифры, соответствующие этим отношениям; стоящие рядом в графе Ф (В) цифры яв­ляются вероятностью попадания в полосы, равные высо­те (глубине) или ширине цели.

Вероятность попадания в цель прямоугольной фор­мы будет равна произведению вероятности попадания в полосу, равную высоте (глубине) цели, на вероятность попадания в полосу, равную ширине цели.

Если цель по своей форме отличается от прямоуголь­ника, то найденную вероятность попадания необходимо умножить на коэффициент фигурности. Вероятность по­падания в такую цель может быть найдена также по приведенным размерам цели без использования коэффи­циента фигурности.

где р - вероятность попадания в цель; у - половина высоты цели; z - половина ширины цели;

Be сум и Вб сум - суммарные срединные отклонения соответственно по высоте и боковому направ­лению; К - коэффициент фигурности.

Пример. Определить вероятность попадания в амбразуру броне­колпака высотой 20 см и шириной 35 см при стрельбе из снайпер­ской винтовки Драгунова на расстояние 400 м, если средняя тра­ектория пройдет через центр цели.

Вв=7,2 см, Вб=7,2 см.

2. Определяем вероятность попадания в полосу, равную высоте цели, для чего:

111. Для определения вероятности попадания по таб­лице вероятностей (табл, 2, приложение 4) в круглую мишень при площади рассеивания, близкой по форме к кругу, и при совмещении средней точки попадания с центром мишени необходимо:

Определить отношение радиуса круглой мишени к
радиусу круга рассеивания, вмещающего 50% попаданий;

По таблице в графе В найти это отношение; стоящая рядом в графе Ф (В) цифра будет являться вероятностью попадания в цель.

Пример. Определить вероятность попадания в круглую мишень (круг) радиусом 10 см при стрельбе из пистолета Макарова на рас­стояние 50 м, если средняя траектория пройдет через центр круга.

Решение; 1. В таблице находим Р5о=8 см.

2. Определяем отношение радиуса круглой мишени (круга) к Р

3. По табл. 2 приложения 4 находим в графе В цифру 1,25; рядом стоящая цифра в графе Ф (В) дает вероятность попадания в круг, равную 66,1%.

112. Когда средняя точка попадания не совпадает с серединой цели, для определения вероятности попадания в цель необходимо (Рис. 48):

1. Определить вероятность попадания в полосу, рав­ную высоте (глубине) цели, для чего:

а) определить вероятность попадания в полосу, вы­сота (глубина) которой равна расстоянию от оси рассеи­вания по высоте (дальности) до верхнего (дальнего) края цели; для этого найти отношение высоты (глуби­ны) этой полосы к срединному отклонению по высоте (дальности), т. е. В, и по таблице вероятностей взять половину ("/г) значения, указанного в графе Ф (В);

3. Определить вероятность попадания в цель, для его вероятность попадания в полосу, равную высоте цели, умножить на вероятность попадания в полосу, равную ширине цели. Если цель имеет фигурное очертание, то полученную вероятность умножить на коэффициент фигурности или для определения вероятности попадания
взять приведенные размеры цели.

Zi -и z 2 - расстояния от оси рассеивания по боковому направлению соответ­ственно до дальнего и ближнего края цели;

Вв сум и Вб сум - суммарные срединные отклоне­ния соответственно по высоте и боковому направлению; К - коэффициент фигурности.

Знак плюс (+) берется, когда ось рассеивания про­ходит через цель, а знак минус (-), когда ось рассеива­ния вне цели.

Пример. Определить вероятность попадания в бегущую фигуру при стрельбе из _пулемета Калашникова на расстояние 500 м, если средняя траектория пройдет ниже середины цели на 0,4 м.:

Решение. 1. По таблицам находим: Be сум- 0,37 м, Вб сдм=0,51 м; из приложения 4, таблица 6 находим приведенные раз­меры цели: высота равна 1,40 м, ширина 0,46 м.

2. Определяем вероятность попадания в полосу от оси рассеи­вания по высоте до верхнего края цели:

3. Определяем вероятность попадания в полосу от этой же оси рассеивания до нижнего края цели:

4. Определяем вероятность попадания в полосу, равную высоте цели:

5. Определяем вероятность попадания в полосу, равную ширине
цели, ра:

6. Определяем вероятность попадания в цель:

Вероятность попадания в цель любого очерта­ния и при любом расположении средней траектории мо­жет быть определена графическим способом по сетке рассеивания (Рис.49).

Сетка рассеивания оставляется проведением прямых линий, параллельных осям рассеивания, через целые срединные отклонения или доли их. В результате этого вся площадь рассеивания разбивается на ряд прямо­угольников, Вероятности попадания в образовавшиеся

прямоугольники подсчитываются умножением вероятно­стей попадания в полосы, которыми образуются эти пря­моугольники. Например, вероятность попадания в пря­моугольник, отмеченный в табл. 5 приложения 4, рав­на 0,16-0,25 = 0,04, или 4%. Сетка рассеивания в этой таблице дана в масштабе в одно срединное отклонение. Определение вероятности попадания по сетке рассеи­вания производится в той же последовательности, что и по шкале рассеивания. Для этого надо начертить в ус­ловном масштабе цель и на нее наложить в том же мас­штабе сетку рассеивания так, чтобы центр рассеивания был в точке согласно условиям стрельбы. Затем подсчитать вероятность попадания в цель суммированием ве­роятностей попадания в прямоугольники, накрывающие цель; причем там, где прямоугольники не полностью входят в цель, вероятности берутся примерным сравне­нием площади, занятой целью, с площадью всего прямо­угольника.

где р - вероятность попадания в цель;

Ри Pi и т. д. - вероятности попадания в прямоуголь­ники.

114. Для определения вероятности попадания в оди­ночную (групповую прерывчатую) цель при стрельбе с искусственным рассеиванием по фронту необходимо най­ти вероятность попадания в полосу, равную высоте цели, и умножить ее на отношение площади одиночной цели (занятой всеми фигурами) к площади прямоугольника, ширина которого равна ширине фронта искусственного рассеивания, а высота - высоте цели. При этом допус­кается, что рассеивание пуль по боковому направлению равномерно и вероятность попадания в полосу, равную фронту цели (рассеивания), равна 100%. Если группо­вая цель состоит из одинаковых по размерам фигур, то ее площадь определяется умножением площади одной фигуры на число фигур.

где р - вероятность попадания в цель;

р в - вероятность попадания в полосу, равную вы­соте цели;

5ц - площадь цели; S n p - площадь прямоугольника.

Пример. Определить вероятность попадания в групповую цель, состоящую из 10 бегущих фигур на фронте 40 м на расстоянии 300 м, при стрельбе из пулемета Калашникова (ПКС) с рассеива­нием по фронту при условии, что ось рассеивания по высоте пройдет через середину цели.

Решение. I. По таблицам находим: Вв=0,15 м; при стрельбе с рассеиванием по фронту Be увеличивается в 1,4 раза; из прило­жения 4, таблица 6 высота цели равна 1,5 м, площадь одной фигуры цели 0,64 м 2 .

2. Определяем срединное отклонение по высоте при стрельбе с рассеиванием по фронту:

115. Вероятность попадания в цель с учетом ошибок в подготовке стрельбы определяется вышеуказанными способами. При этом, кроме характеристик рассеивания, учитываются ошибки в подготовке стрельбы (см. ст. 103 и 104) и принимается, что средняя точка попадания про­ходит через середину цели.

Пример. Определить вероятность попадания в появляющееся реактивное противотанковое ружье при стрельбе из пулемета Ка­лашникова на расстояние 600 м с учетом возможных ошибок в стрельбе; ветер боковой; расстояние до цели определено глазомерно.

Решение. 1. По таблицам находим: Вв сум- 0,44 м, Вб ct/jn = 0,61 м; из приложения 4, таблицы 7 и 6 £в=0,63 м, Ен = 0,43 м, приведенные размеры цели: высота равна 0,85 м, ширина 0,85 м.

2. Определяем суммарные (приведенные) ошибки в подготовке стрельбы:

а) по высоте:

б) по боковому направлению:

3. Определяем вероятность попадания в цель: а) в полосу, равную приведенной высоте цели:

116. Вероятность попадания при стрельбе из автома­та, а также из ручного пулемета из положения с колена, стоя, на ходу с короткой остановки определяется выше­указанными способами отдельно для первых пуль оче­редей и для последующих пуль очередей.

Пример. Определить вероятность попадания в грудную "фигуру при стрельбе из автомата Калашникова (АКМ) из положения лежа с упора на расстояние 400 м при условии, что ошибок в стрельбе нет.

Решение. 1. По таблицам находим: Bei - 0,17 м, £ i=0,I5 (для первых пуль очередей); Вв ПО с=0,23 м, Вб П ос = 0,36 м (для последующих луль очередей); из приложения 4, таблица 6 приве­денные размеры грудной фигуры: высота=0,45 м, ширина = 0,45 м.

2. Определяем вероятность попадания для первой пули очереди:

а) в полосу, равную приведенной высоте цели:

Вероятности попадания для первой пули очереди и для последующей пули очереди и коэффициент зависи­мости между ними затем учитываются при определении вероятности поражения цели заданным количеством патронов.

3. Определяем вероятность попадания для любой последующей пули

Вероятность пораженияцели

117. Пристрельбе из стрелкового оружия по одиноч­ным живым целям и из гранатометов по одиночным бро­нированным целям одно попадание обычно дает поражение цели. Поэтому под вероятностью поражения оди­ночной цели понимается вероятность получения хотя бы одного попадания при заданном числе выстрелов.

118. Вероятность поражения цели при одном выстре­ле (Pi) численно равняется вероятности попадания в цель (/?). Расчет вероятности поражения цели при этом условии сводится к определению вероятности попадания в цель.

Пример. Определить вероятность поражения снайпера против­ника (грудная фигура) с первого выстрела из Снайперской винтовки обр. 1891/30 г. на расстояние 500 м; расстояние до цели определено глазомерно.

Решение. 1. По таблицам находим: Вв=0,08 м; £6=0,08 м; из приложения 4, таблицы 7 и 6 ошибка в подготовке стрельбы по высоте £е=0,36 м, приведенные размеры цели: высота равна 0,45 м, ширина 0,45 м.

2. Определяем суммарную (приведенную) ошибку в подготовке стрельбы по высоте:

б) в полосу, равную приведенной ширине цели:

в) в цель:

Так как при попадании пули в снайпера будет наверняка полу­чено его поражение, найденное значение вероятности попадания. и есть вероятность поражения цели с первого выстрела, т. е. /?=/>! =29,6%.

119. Вероятность поражения цели (Pi) при несколь­ких одиночных выстрелах, одной очередью или несколь­кими очередями-, когда где (1-р) -вероятность промаха вероятность попадания для всех выстрелов одинакова, равна единице минус вероятность промаха в степени, равной количеству выстрелов (я), т.е.

Пример. Определить вероятность поражения реактивного про­тивотанкового ружья при стрельбе из пулемета Калашникова одной очередью в 5 выстрелов на расстояние 600 м; ветер боковой; рас­стояние до цели определено глазомерно.

Решение. 1. По таблицам находим: Вв сум=0,44 м, Вб сум- 0,61 м; из приложения 4, таблицы 7 и 6 срединная ошибка по высоте £s=0,63 м, по боковому направлению £к=0,43 м, коэф­фициент фигурности 0,72.

2. Определяем суммарную (приведенную) ошибку в подготовке стрельбы по. высоте:

Bs n = Y Be с У м2 + Ев2 = У 0,442 + 0,632 = 0,77 м.

3. Определяем суммарную (приведенную) ошибку в подготовке стрельбы по боковому направлению:

Вб п = У Вб сум? + £«2 = у о,612+,0,432 = о,7б м,

4. Определяем вероятность попадания в цель;

\ Вбп) \ 0,77 / \0,75У "

Ф(0,65).ф(0,67)-0,72 =0,339-0,349-0,72 = 0,085, или 8,5»/о.

5. Определяем вероятность поражения цели очередью в 5 выст­релов:

Р, = 1 - (1 - pyi = 1 - (1 - 0,085)5 = 0,36, или 8,5%.

Найденная таким образом вероятность поражения це­ли характеризует надежность стрельбы, т. е. показывает, в скольких случаях из ста в среднем цель в данных ус­ловиях будет поражена не менее чем при одном попада­нии. По условиям примера при большом числе подобных стрельб в среднем на каждые 100 стрельб в 36 стрельбах будет получено не менее одного попадания в цель, в 64 стрельбах цель не будет поражена.

Стрельба считается достаточно надежной, если веро­ятность поражения цели не менее 80%.

120. Вероятность поражения цели при нескольких вы­стрелах одной очередью или несколькими очередями, когда вероятность попадания первых и последующих пуль (очередей) изменяется от выстрела (очереди) к вы­стрелу (очереди), равна единице минус вероятность про­махов первых и последующих пуль очереди (очередей):

а) для одной очереди:

Р 1 = 1 - (1 _ р пер). (1 _ р иоа у-1

б) для нескольких очередей (вероятность попадания от очереди к очереди не изменяется):

где п - общее количество выстрелов;

к - количество очередей; Su Sz, Si - количество выстрелов в очереди; Ри рг, Рк - вероятность попадания при одном вы­стреле первой, второй и т. д. очереди.

Пример. Определить вероятность поражения пулемета из автома­та Калашникова (АК.М) одной очередью в 3 выстрела при стрель­бе стоя из окопа на расстояние 300 м; ошибок в подготовке стрель­бы нет (средняя траектория пройдет через середину цели).

Решение. 1. По таблицам находим: Sei=0,12 м, 5<5i = 0,ll м,
Вв сг//Ипос = 0,23 м, Вб сум ааа =0,33 м; из приложения 4, таблица б
приведенные размеры цели равны: высота равна 0,48 м, ширина
0,65 м. . ... ..

2. Определяем вероятность попадания для первой пули оче­реди:

3. Определяем вероятность попадания для последующей пули очереди:

4. Определяем вероятность поражения цели очередью в 3 вы­стрела:

Если вероятность попадания от выстрела к выстрелу не изменяется, вероятность поражения цели может быть определена по таблице вероятностей поражения цели (приложение 4, таблица 4), рассчитанной для различной величины вероятности попадания {/?) и числа выстре­лов (л).

Пример. Определить вероятность поражения противотанкового гранатомета при стрельбе из ручного пулемета Калашникова одной очередью в 5 выстрелов, если вероятность попадания равна 0,30.

Решение. По таблице 4, приложение 4 в вертикальной графе, обозначенной буквой р, находим значение вероятности попадания, равное 0,30; в горизонтальной строчке против числа, соответствую­щего числу выстрелов (п), равному 5, находим вероятность пора­жения цели; она равна Pj =0,83, или 83%.

При определении вероятности поражения целей авто­матическим огнем по формулам, указанным в ст. 11.9 и 120, получаются завышенные результаты (на 3-7%). Поэтому при более точных подсчетах вероятностей пора­жения цели пользуются специальными формулами, учи­тывающими коэффициент зависимости выстрелов.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Доказательство базируется на том, что противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Замечание 1. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р , то вероятность другого события обозначают через q . Таким образом, в силу предыдущей теоремы p + q = l.

Замечание 2. При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность противоположного события, а затем найти искомую вероятность по формуле

Задача 1. Вероятность попадания в мишень стрелком равна 0,6. Какова вероятность того, что он, выстрелив по мишени, промахнется?

Решение. Пусть событие A - попадание в мишень, его вероятность

P(A) = 0,6. Противоположное попаданию событие - промах. Вероятность промаха

P() = 1-0,6=0,4.

Задача 2. Вероятность того, что день будет дождливым, р = 0,7. Найти вероятность того, что день будет ясным.

Решение. События «день дождливый» и «день ясный» - противоположные, поэтому искомая вероятность

q = 1 - p = 1 - 0,7 = 0,3,

Задача 3. Найти вероятность того, что наугад вынутая из полного набора домино (28 костей) одна кость домино не будет «дублем»».

Решение. В полном наборе домино 7 «дублей». Вероятность вытянуть «дубль» равна: P(A)=7/28=0,25, тогда по теореме о сумме вероятностей противоположных событий получаем:

P() = 1-P(A) = 1-0,25 = 0,75.

Задача 4. В ящике лежат 5 белых, 10 черных и 15 красных шаров. Какова вероятность того, что наугад вынутый шар не будет белым?

Решение. Вероятность того, что вытянутый из ящика шар будет белым равна: P(A)=5/30=1/6, тогда вероятность того, что вытянутый из ящика шар не будет белым по теореме о сумме вероятностей противоположных событий равна

P() = 1-1/6 = 5/6.

Задача 5. Вероятность выигрыша главного приза равна 10 -8 . Какова вероятность не выиграть главный приз?

Решение. Пусть событие A - «выигрыш главного приза», тогда событие - «не выигрыш главного приза». По условию задачи P(A)= 10 -8 , тогда используя теорему о сумме вероятностей противоположных событий, находим

Задача 6. В роте из 100 солдат двое имеют высшее образование. Какова вероятность того, что в случайным образом сформированном взводе из 30 солдат будет хотя бы один человек с высшим образованием?

Решение. Пусть событие A - во взводе хотя бы один человек имеет высшее образование. Тогда событие - ни один человек во взводе не имеет высшего образования. Взвод из 30 чел. можно составить способами. Солдат, не имеющих высшего образования, 100 - 2 = 98. Взвод из 30 солдат, не имеющих высшего образования, можно составить способами. Вероятность того, что во взвод попадут только те солдаты, которые не имеют высшего образования, равна

P() = / = (98!/(30!·(98-30)!))/(100!/(30!·(100-30)!)

= (98!·30!·70!)/(30!·68!·100!) = (68·70)/(99·100) = 161/330.

Тогда вероятность того, что во взвод попадет хотя бы один солдат, имеющий высшее образование, равна

P(A) = 1-P() = 1-161/330 = 169/330 = 0.512.

Задача 7. В студенческой группе 22 человека, среди которых 4 девушки. Какова вероятность того, что среди троих случайным образом выбранных из этой группы студентов окажется, по крайней мере, одна девушка?

При решении практических задач, связанных со случайными величинами, часто оказывается необходимым вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в некоторых пределах, например, от до . Это событие мы будем называть «попаданием случайной величины на участок от до ».

Условимся для определенности левый конец включать в участок , а правый – не включать. Тогда попадание случайной величины на участок равносильно выполнению неравенства:

Выразим вероятность этого события через функцию распределения величины . Для этого рассмотрим три события:

событие А, состоящее в том, что ;

событие В, состоящее в том, что ;

событие С, состоящее в том, что .

Учитывая, что , по теореме сложения вероятностей имеем:

т.е. вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна приращению функции распределения на этом участке.

Будем неограниченно уменьшать участок , полагая, что . В пределе вместо вероятности попадания на участок получим вероятность того, что величина примет отдельно взятое значение :

Значение этого предела зависит от того, непрерывна ли функция в точке или же терпит разрыв. Если в точке функция имеет разрыв, то предел (5.3.2.) равен значению скачка функции в точке . Если же функция в точке непрерывна, то этот предел равен нулю.

В дальнейшем изложении мы условимся называть «непрерывными» только те случайные величины, функция распределения которых везде непрерывна. Имея это в виду, можно сформулировать следующее положение:

Вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Остановимся на этом положении несколько подробнее. В данном курсе мы уже встречались с событиями, вероятности которых были равны нулю: это были невозможные события. Теперь мы видим, что обладать нулевой вероятностью могут не только невозможные, но и возможные события. Действительно, событие , состоящее в том, что непрерывная случайная величина примет значение , возможно, однако вероятность его равна нулю. Такие события – возможные, но с нулевой вероятностью – появляются только при рассмотрении опытов, не сводящихся к схеме случаев.

Понятие о событии «возможном, но обладающем нулевой вероятностью» кажется на первый взгляд парадоксальным. В действительности оно не более парадоксально, чем представление о теле, имеющем определенную массу, тогда как ни одна из точек внутри тела определенной конечной массой не обладает. Сколь угодно малый объем, выделенный из тела, обладает определенной конечной массой; эта масса приближается к нулю по мере уменьшения объема и в пределе равна нулю до точки. Аналогично при непрерывном распределении вероятностей вероятность попадания на сколь угодно малый участок может быть отлична от нуля, тогда как вероятность попадания в строго определенную точку в точности равна нулю.

Если производится опыт, в котором непрерывная случайная величина должна принять одно из своих возможных значений, то до опыта вероятность каждого из таких значений равна нулю; однако в исходе опыта случайная величина непременно примет одно из своих возможных значений, т. е. заведомо произойдет одно из событий, вероятности которых были равны нулю.

Из того, что событие имеет вероятность, равную нулю, вовсе не следует, что это событие не будет появляться, т.е. что частота этого события равна нулю. Мы знаем, что частота события при большом числе опытов не равна, а только приближается к вероятности. Из того, что вероятность события равна нулю, следует только, что при неограниченном повторении опыта это событие будет появляться сколь угодно редко.

Если событие в данном опыте возможно, но имеет вероятность, равную нулю, то противоположное ему событие имеет вероятность, равную единице, но недостоверно. Для непрерывной случайной величины при любом событие имеет вероятность, равную единице, однако это событие не достоверно. Такое событие при неограниченном повторении опыта будет происходить почти всегда, но не всегда.

В n° 5.1 мы познакомились с «механической» интерпретацией прерывной случайной величины как распределения единичной массы, сосредоточенной в нескольких изолированных точках на оси абсцисс. В случае непрерывной случайной величины механическая интерпретация сводится к распределению единичной массы не по отдельным точкам, а непрерывно по оси абсцисс, причем ни одна точка не обладает конечной массой.