Уравнение движения тела переменной массы. Движение тел переменной массы. Основы теоретической космонавтики. Уравнение Мещерского

Уравнение движения тела с переменной массой

Под переменной массой будем понимать массу тел, которая при медленном движении тел меняется за счет потери или приобретения вещества.

Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой в свою очередь действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. На ракету действуют внешние силы: сила земной тяжести, гравитационное притяжение Солнца и планет, а также сила сопротивления среды, в которой движется ракета.

Рисунок 1.

Пусть $m(t)$- масса ракеты в произвольный момент времени $t$, а $v(t)$- ее скорость в тот же момент. Количество движения ракеты в этот момент времени будет $mv$. Спустя время $dt$ масса и скорость ракеты получат приращение $dm$ и $dv$ (величина $dm$ отрицательна). Количество движения ракеты станет равным $(m+dm)(v+dv)$. Сюда надо добавить количество движения газов, образовавшихся за время $dt$. Оно равно $dm_{газ} v_{газ} $, где $dm_{газ} $- масса газов, образовавшихся за время $dt$, а $v_{газ} $- их скорость. Вычитая из суммарного количества движения в момент $t+dt$ количество движения системы в момент времени $t$, найдем приращение этой величины за время $dt$. Это приращение равно $Fdt$, где $F$- геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету. Таким образом:

$(m+dm)(v+dv)+dm_{газ} v_{газ} -mv=Fdt$. (1)

Время $dt$ и приращения $dm$ и $dv$ устремим к нулю, т.к. нас интересуют предельные отношения или производные $dm/dt$ и $dv/dt$. Поэтому, раскрывая скобки, можно отбросить произведение $dm\cdot dv$, как бесконечно малую высшего порядка. Далее, ввиду сохранения массы, $dm+dm_{газ} =0$. Пользуясь этим, можно исключить массу газов $dm_{газ} $. А разность $v_{отн} =v_{газ} -v$ есть скорость истечения газов относительно ракеты -- скорость газовой струи. С учетом этих замечаний уравнение (1) преобразуется к виду:

$mdv=v_{отн} dm+Fdt$. (2)

Разделив на $dt$, получаем:

$m\frac{dv}{dt} =v_{отн} \frac{dm}{dt} +F$. (3)

Уравнение Мещерского

По форме уравнение (3) совпадает с уравнением, выражающим второй закон Ньютона. Однако масса тела $m$здесь не постоянна, а меняется во времени из-за потери вещества. К внешней силе $F$ добавляется дополнительный член $v_{отн} \frac{dm}{dt} $, который может быть истолкован как реактивная сила, т.е. сила, с которой действуют на ракету вытекающие из нее газы. Уравнение (3) впервые было получено русским механиком И. В. Мещерским. Оно, так же как и эквивалентное ему уравнение (2), называется уравнением Мещерского или уравнением движения точки с переменной массой.

Формула Циолковского

Применим уравнение (2) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая $F=0$, получим:

Допустим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости газовой струи $v_{отн} $. Если направление полета принять за положительное, то проекция вектора $v_{отн} $ на это направление будет отрицательной и равной $-v_{отн} $. Поэтому в скалярной форме предыдущее уравнение можно записать так $mdv=v_{отн} dm$. Тогда:

$\frac{dv}{dm} =-\frac{v_{отн} }{m} $ (4)

Скорость газовой струи $v_{отн} $ может меняться во время полета. Однако простейшим и наиболее важным является случай, когда она постоянна. Предположение о постоянстве сильно облегчает решение уравнения (4). В этом случае:

Значение постоянной интегрирования С определяется начальными условиями. Допустим, что в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее масса равна $m_{0} $. Тогда из предыдущего уравнения получаем:

$C=v_{отн} \ln \frac{m_{0} }{m} $ тогда: $v=v_{отн} \ln \frac{m_{0} }{m} $ или $\frac{m_{0} }{m} =e^{\frac{v}{v_{отн} } } $

Последнее соотношение называется формулой Циолковского .

Величина достигаемой ракетой максимальной скорости не зависит от времени сгорания топлива.

Оптимальным путем изменения достигаемой максимальной скорости является увеличение относительной скорости истечения газов.

Для получения первой космической скорости при меньшем соотношении между массой ракеты и требуемой массы топлива целесообразно использование многоступенчатых ракет.

Примеры

Пример 1

Космический корабль двигался с постоянной по величине скоростью $v$. Для изменения направления его полета включается двигатель, выбрасывающий струю газа со скоростью $v_{отн} $ относительно корабля в направлении, перпендикулярном к его траектории. Определить угол $\alpha $, на который повернется вектор скорости корабля, если начальная масса его $m_{0} $, а конечная $m$.

Дано: $v$, $v_{отн} $, $m_{0} $, $m$.

Найти: $\alpha $-?

Решение:

Ускорение корабля по абсолютной величине равно:

$a=\omega ^{2} r=\omega v$, причем $v=const$. Поэтому уравнение движения:

$m\frac{dv}{dt} =v_{отн} \frac{dm}{dt} $ переходит в: $mv\omega dt=-v_{отн} dm$.

Так как $d\alpha =\omega dt$ есть угол поворота за время $dt$, интегрируя наше уравнение, получим:

\[\alpha =\frac{v_{отн} }{v} \ln \frac{m_{0} }{m} .\]

Ответ: угол поворота вектора скорости равен: $\alpha =\frac{v_{отн} }{v} \ln \frac{m_{0} }{m} $

Пример 2

Ракета перед стартом имеет массу $m_{0} =250$кг. На какой высоте окажется ракета через $t=20$с после начала работы двигателей? Расход топлива равен $\mu =4$кг/с и скорость истечения газов относительно ракеты $v_{отн} $$=1500$м/с постоянны. Поле тяготения Земли считать однородным.

Дано: $m_{0} =250$кг, $t=20$с, $\mu =4$кг/с, $v_{отн}=1500$м/с.

Найти: $H$-?

Решение:

Рисунок 2.

Запишем уравнение Мещерского в однородном поле тяготения Земли в виде:

где $m=m_{0} -\mu t$, а $v_{0} $- скорость ракеты в момент времени $t$. Разделяя переменные получаем:

\[\Delta v_{0} =(\frac{\mu v_{отн} }{m_{0} -\mu t} -g)\Delta t\]

Решение данного уравнения, удовлетворяющего начальному условию $v_{0} =0$ при $t=0$, имеет вид:

Учитывая что $H_{0} =0$ при $t=0$ получим:

Подставляя начальные значения, получаем:

$H=v_{отн} t-\frac{gt^{2} }{2} +\frac{v_{отн} m_{0} }{\mu } (1-\frac{\mu t}{m_{0} })\ln (1-\frac{\mu t}{m_{0} })=3177,5$м

Ответ: через $20$с ракета окажется на высоте $H=3177,5$м.

Уравнение движения центра масс

Понятие центра масс позволяет придать уравнению , выражающему второй закон Ньютона для системы тел, иную форму. Для этого достаточно представить импульс системы как произведение массы системы на скорость ее центра масс:

Получили уравнение движения центра масс, согласно которому центр масс любой системы тел движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в нем, и к нему были бы приложены все внешние силы. Если сумма внешних сил равна нулю, то, а, значит, т. е. центр масс (инерции) замкнутой системы покоится или перемещается равномерно и прямолинейно. Другими словами, внутренние силы взаимодействия тел не могут придать какое-либо ускорение центру масс системы тел и изменить скорость его движения .

Скорость центра масс определяется полным импульсом механической системы, поэтому перемещение центра масс характеризует движение этой системы как единого целого.

Запишем изменение импульса системы для бесконечно малого промежутка времени dt . В момент отсчета времени t+dt масса ракеты равна m+dm. Так как dm < 0, то отделяемая масса равна – dm . Скорость ракеты за время dt получит приращение. Изменение импульса ракеты равно

Изменение импульса отделяемой массы:

Здесь – скорость отделяемой массы в выбранной нами системе отсчета. Согласно закону изменения импульса неизолированной системы тел

откуда следует, что

Разделив на dt , приходим к уравнению динамики переменной массы , впервые полученному российским физиком Мещерским:

Величину называют реактивной силой . Эта сила тем больше, чем быстрее изменяется масса тела со временем. Для тела постоянной массы реактивная сила равна нулю. Если масса тела уменьшается, то реактивная сила направлена в сторону, противоположную скорости отделяемой массы Если масса тела увеличивается, то реактивная сила сонаправлена скорости отделяемой массы

Теперь рассмотрим случай, когда внешних сил нет. В проекции направление движения ракеты уравнение Мещерского примет вид:

Интегрируя это выражение, получим:

Константу интегрирования C определим из начальных условий. Если в начальный момент отсчета времени t = 0 скорость ракеты равна нулю, а масса, то и Тогда

Это соотношение носит имя российского ученого К.Э. Циолковского и лежит в основе ракетостроения.

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет

Факультет Технической Кибернетики

Реферат на тему:

Движение тел переменной массы. Основы теоретической космонавтики.

Студент: Перов Виталий

Группа:1085/3

Преподаватель: Козловский В.В

Санкт-Петербург

История космонавтики 3

Уравнение Мещерского 3

Уравнение Циолковского 4

Числовые характеристики одноступенчатой ракеты 4

Многоступенчатые ракеты 5

Список используемой литературы: 6

Зарождение космонавтики

Моментом зарождения космонавтики можно условно назвать первый полёт ракеты, продемонстрировавший возможность преодолевать силу земного притяжения. Первая ракета открыла перед человечеством огромные возможности. Много смелых проектов было предложено. Один из них - возможность полёта человека. Однако, этим проектам было суждено воплотится в реальность только спустя многие годы. Своё практическое применение ракета нашла только в сфере развлечений. Люди не раз любовались ракетными фейерверками, и, вряд ли кто-нибудь тогда мог представить себе её грандиозное будущее.

Рождение космонавтики, как науки, произошло в 1987 году. В этом году была опубликована магистерская диссертация И.В Мещерского, содержащая фундаментальное уравнение динамики тел переменной массы. Уравнение Мещерского дало космонавтике «вторую жизнь»: теперь в распоряжении ракетостроителей появились точные формулы, которые позволяли создавать ракеты основываясь не на опыте предыдущих наблюдении, а на точных математических расчетах.

Общие уравнения для точки переменной массы и некоторые частные случаи этих уравнений уже после их опубликования И. В. Мещерским «открывались» в XX веке многими учёными западной Европы и Америки (Годар, Оберт, Эсно-Пельтри, Леви-Чивита и др.).

Случаи движения тел, когда их масса меняется можно указать в самых различных областях промышленности.

Наибольшую известность в космонавтики получило не уравнение Мещерского, а уравнение Циолковского. Оно представляет собой частный случай уравнения Мещерского.

К. Э. Циолковского можно назвать отцом космонавтики. Он был первым, кто увидел в ракете средство для покорения человеком космоса. До Циолковского на ракету смотрели как на игрушку для развлечений или как на один из видов оружия. Заслуга К. Э. Циолковского состоит в том, что он теоретически обосновал возможность покорения космоса при помощи ракет, вывел формулу скорости движения ракеты, указал на критерии выбора топлива для ракет, дал первые схематические чертежи космических кораблей, привёл первые расчеты движения ракет в поле тяготения Земли и впервые указал на целесообразность создания на орбитах вокруг Земли промежуточных станций для полётов на другие тела Солнечной системы.

Уравнение Мещерского

Уравнения движения тел с переменной массой являются следствиями законов Ньютона. Тем не менее, они представляют большой интерес, главным образом, в связи с ракетной техникой.

Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой, в свою очередь, действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. Если нет внешних сил, то ракета вместе с выброшенным веществом является замкнутой системой. Импульс такой системы не может меняться во времени. На этом положении и основана теория движения ракет.

Основное уравнение движения тела переменной массы при любом законе изменения массы и при любой относительной скорости выбрасываемых частиц было получено В. И. Мещерским в его диссертации 1897 г. Это уравнение имеет следующий вид:

где – вектор ускорения ракеты, –– вектор скорости истечения газов относительно ракеты, M- масса ракеты в данный момент времени, –– ежесекундный расход массы, - внешняя сила.

По форме это уравнение напоминает второй закон Ньютона, однако, масса тела m здесь меняется во времени из-за потери вещества. К внешней силе F добавляется дополнительный член, который называется реактивной силой.

Уравнение Циолковского

Если внешнюю силу F принять равной нулю, то, после преобразований, получим уравнение Циолковского:

Отношение m 0 /m называется числом Циолковского, и часто обозначается буквой z.

Скорость, рассчитанная по формуле Циолковского, носит название характеристической или идеальной скорости. Такую скорость теоретически имела бы ракета при запуске и реактивном разгоне, если бы другие тела не оказывали на неё никакого влияния.

Как видно из формулы, характеристическая скорость не зависит от времени разгона, а определяется на основе учёта только двух величин: числа Циолковского z и скорости истечения u. Для достижения больших скоростей необходимо повышать скорость истечения и увеличивать число Циолковского. Так как число z стоит под знаком логарифма, то увеличение u даёт более ощутимый результат, чем увеличение z в то же количество раз. К тому же большое число Циолковского означает, что конечной скорости достигает лишь небольшая часть первоначальной массы ракеты. Естественно, такой подход к проблеме увеличения конечной скорости не совсем рационален, ведь надо стремится выводить в космос большие массы, при помощи ракет с возможно меньшими массами. Поэтому конструкторы стремятся прежде всего к увеличению скоростей истечения продуктов сгорания из ракет.

Числовые характеристики одноступенчатой ракеты

При анализе формулы Циолковского было выяснено, что число z=m 0 /m является важнейшей характеристикой ракеты.

Разделим конечную массу ракеты на две составляющие: полезную массу М пол, и массу конструкции М констр. К полезной относят только массу контейнера, который требуется запустить с помощью ракеты для выполнения заранее запланированной работы. Масса конструкции – вся остальная масса ракеты без топлива(корпус, двигатели, пустые баки, аппаратура). Таким образом M= М пол + М констр; M 0 = М пол + М констр + М топл

Обычно оценивают эффективность транспортировки груза при помощи коэффициента полезной нагрузки р. р= M 0 / М пол. Чем меньшим числом выражен этот коэффициент, тем большую часть от общей массы составляет масса полезного груза

Степень технического совершенства ракеты характеризуется конструктивной характеристикой s. . Чем большим числом выражается конструктивная характеристика, тем более высокий технический уровень у ракеты-носителя.

Можно показать, что все три характеристики s, z и p связаны между собой следующими уравнениями:

Многоступенчатые ракеты

Достижение очень больших характеристических скоростей одноступенчатой ракеты требует обеспечения больших чисел Циолковского и ещё больших по величине конструктивных характеристик (т.к всегда s>z). Так, например при скорости истечения продуктов сгорания u=5км/с для достижения характеристической скорости 20км/с требуется ракета с числом Циолковского 54,6. Создать такую ракету в настоящее время невозможно, но это не значит, что скорость 20км/с не может быть достигнута при помощи современных ракет. Такие скорости обычно достигаются при помощи одноступенчатых, т.е составных ракет.

Когда массивная первая ступень многоступенчатой ракеты исчерпывает при разгоне все запасы топлива, она отделяется. Дальнейший разгон продолжает другая, менее массивная ступень, и к ранее достигнутой скорости она добавляет ещё некоторую скорость, а затем отделяется. Третья ступень продолжает наращивание скорости, и т.д.

Согласно формуле Циолковского, первая ступень в конце разгона достигнет скорости , где . Вторая ступень увеличит скорость ещё на , где . Полная характеристическая скорость двухступенчатой ракеты будет равна сумме скоростей, сообщаемых каждой ступенью в отдельности:

Если скорости истечения из ступеней одинаковы, то , где Z= - число Циолковского для двухступенчатой ракеты.

Нетрудно доказать, что в случае 3-x ступенчатой ракеты число Циолковского будет равно Z=.

Итак, предыдущая задача достичь скорости 20км/с легко решается с помощью 3-х ступенчатой ракеты. Для неё число Циолковского будет также равно 54,6, однако, числа Циолковского для каждой ступени (при условии их равенства между собой) будут равны 3.79, что является вполне достижимым для современной техники.

Список используемой литературы:

Основы космонавтики / А. Д. Марленский

Люди русской науки: Очерки о выдающихся деятелях естествознания и техники / под редакцией С. И. Вавилова.

Во многих задачах физики масса тела при движении меняется. Например, масса автомобиля для поливки улиц уменьшается за счет вытекания воды, масса ракеты или реактивного самолета уменьшается за счет истечения газов, образующихся при сгорании топлива.

Выведем уравнение движения тела с переменной массой на примере движения ракеты. Принцип действия ракеты очень прост. В ракетном двигателе сила тяги создается в результате выбрасывания продуктов горения топлива в направлении противоположном скорости ракеты (рис. 3.1). Она возникает согласно третьему закону Ньютона как сила реакции, и поэтому называется реактивной. Если нет внешних сил, то ракета вместе с выброшенным ею веществом является замкнутой системой. Импульс такой системы не может меняться со временем. На этом положении и основана теория движения ракет. Целесообразно, однако, обобщить задачу, предположив, что на ракету действуют внешние силы. Такими силами могут быть гравитационные силы, а также силы сопротивления среды, в которой движется ракета.

Пусть – масса ракеты в произвольный момент времени , а – ее скорость в тот же момент. Импульс ракеты в этот момент времени будет . Спустя время масса и скорость ракеты получат приращение и (величина ). Импульс ракеты станет равным . Импульс газов, образовавшихся за время , будет .

Приращение импульса системы за время будет равно импульсу силы , где – геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету:

Раскрывая скобки, можно отбросить произведение , как бесконечно малую величину. Учитывая, что , и поделив все члены последнего уравнения на , получим:

.

(3.2)

Можно воспользоваться правилом сложения скоростей в виде , где – скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда уравнение (3.2) примет вид

.

Величина представляет реактивную силу. Если направлена противоположно , то ракета ускоряется, а если совпадает с – тормозится. Переходя к пределу при , уравнение движения тела с переменной массой можно записать в виде:

.

Полученное уравнение называется уравнением Мещерского или уравнением движения тела с переменной массой.

В отличие от других транспортных средств устройство с реактивным двигателем может двигаться в космическом пространстве. Основоположником теории космических полетов является выдающийся русский ученый Циолковский (1857–1935). Он дал общие основы теории реактивного движения, разработал основные принципы и схемы реактивных летательных аппаратов, доказал необходимость использования многоступенчатой ракеты для межпланетных полетов. Идеи Циолковского успешно осуществлены при создании искусственных спутников Земли и космических кораблей.

Циолковский Константин Эдуардович (5/17.09.1857–19.09.1935)

Русский ученый и изобретатель в области аэродинамики, ракетодинамики, теории воздухоплавания, основоположник современной космонавтики. Родился в семье лесничего. Перенеся в 14-летнем возрасте скарлатину, Циолковский практически потерял слух и учился самостоятельно. В 1879 г. сдал экстерном экзамены на звание учителя. В 1880 г. Циолковский назначен учителем арифметики и геометрии в Боровское уездное училище (Калужская губ.). В это время вышли первые труды Циолковского – «Теория газов» и «Механика животного организма» (1880–1881). Он был принят в Русское физико-химическое общество.

С 1884 г. Циолковский работал над проблемами создания дирижабля и «обтекаемого» аэроплана, с 1886 г. - ракет для межпланетных полетов. Систематически занимался разработкой теории движения реактивных аппаратов и предложил несколько их схем. В 1892 г. Циолковский переехал в Калугу, где преподавал физику и математику в гимназии и епархиальном училище. В том же году вышел в свет его труд «Аэростат металлический управляемый» (о дирижабле). В 1897 г. Циолковский сконструировал первую в России аэродинамическую трубу с открытой рабочей частью.

В советское время Циолковский занимался главным образом теорией движения ракет (ракетодинамикой). В 1926–1929 гг. он разработал теорию многоступенчатого ракетостроения, решил важные задачи, связанные с движением ракет в неоднородном поле тяготения, посадкой космического аппарата на поверхность планет, лишенных атмосферы, рассмотрел влияние атмосферы на полет ракеты, выдвинул идеи о создании ракеты – искусственного спутника Земли и околоземных орбитальных станций. В 1932 г. Циолковский обосновал теорию полета реактивных самолетов в стратосфере.

Технические идеи Циолковского нашли применение в конструировании ракетно-космической техники.

Материалы взяты с сайта http://www.hronos.km.ru/biograf/ciolkov.html

Основоположником практической космонавтики является академик С.П. Королев (1906–1966). Под его руководством был создан и запущен первый в мире искусственный спутник Земли, состоялся первый в истории человечества полет человека в космос. Первым космонавтом Земли стал Ю.А. Гагарин (1934–1968).

Королев Сергей Павлович (1906–1965)

Не было за всю историю науки ученого более засекреченного, чем С.П. Королев, Главный Конструктор космических кораблей, основоположник практической космонавтики. Он стоял у ее истоков – при запуске первых спутников, полете в космос Гагарина, Титова, Валентины Терешковой – первых космонавтов.

При жизни он был известен лишь узкому кругу – высокому начальству, подчиненным, коллегам и тем, кого отправлял в межпланетные полеты. Имя его появилось в печати лишь в день смерти.

Cергей Павлович Королев родился 12 января 1907 г. (30 декабря 1906 г. по старому стилю) в Житомире в семье учителя гимназии. С 1946 г. и до конца жизни Сергей Королев был Главным конструктором баллистических ракет дальнего действия, ракетно-космических систем. В середине 1950-х гг. в КБ Королева была создана знаменитая двухступенчатая ракета, которая обеспечила достижение первой космической скорости и возможность вывода на околоземную орбиту летательных аппаратов массой в несколько тонн. Эта ракета (с ее помощью были выведены на орбиту первые три спутника) затем была модифицирована и превращена в трехступенчатую (для вывода «лунников» и полетов с человеком).

С 1959 г. Сергей Павлович Королев руководил программой исследований Луны. В рамках этой программы к Луне было направлено несколько космических аппаратов, в том числе аппаратов с мягкой посадкой, а 12 апреля 1961 г. осуществлен первый полет человека в космос.

При жизни Королева на его космических кораблях в космосе побывало еще десять советских космонавтов, был осуществлен выход человека в открытый космос (А. Леонов 18 марта 1965 г. на КК «Восход-2»). Под руководством Сергея Королева был создан первый космический комплекс, многие баллистические и геофизические ракеты, запущены первые в мире межконтинентальная баллистическия ракета, ракета-носитель «Восток» и ее модификации, искусственный спутник Земли, осуществлены полеты КК «Восток» и «Восход», созданы первые КА серий «Луна», «Венера», «Марс», «Зонд», ИСЗ серий «Электрон», «Молния-1» и некоторые ИСЗ серии «Космос»; разработан проект КК «Союз».

Сергей Королев воспитал многочисленные кадры ученых и инженеров. Академик АН, член президиума АН СССР (1960–1966), дважды Герой Социалистического Труда (1956, 1961), лауреат Ленинской премии (1957), был награжден Золотой медалью им. К.Э. Циолковского АН СССР (1958), 2 орденами Ленина, орденом «Знак Почета» и медалями.

РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

Пусть частица под действием силы совершает перемещение по некоторой траектории из положения 1 в положение 2 (рис. 3.2). В общем случае сила в процессе движения может меняться как по модулю, так и по направлению. Пусть частица совершила элементарное перемещение , в пределах которого силу можно считать постоянной. Действие силы на перемещении характеризуют величиной, равной скалярному произведению , которую называют элементарной работой силы на перемещении :

Ее можно представить в другом виде:

где – угол между векторами и , – проекция вектора на направление вектора . Поскольку перемещение предполагается малым, величина называется элементарной работой в отличие от работы на конечном перемещении.

Величина – алгебраическая: в зависимости от угла (или знака проекции ) она может быть как положительной, так и отрицательной, и, в частности, равной нулю, если сила перпендикулярна перемещению .

Рассмотрим одномерный случай, когда сила действует вдоль оси и движение происходит вдоль этой оси. Тогда при смещении материальной точки на сила совершает элементарную работу . Если точка смещается из положения в положение , а сила при этом не является постоянной, то для вычисления работы необходимо весь интервал между точками и разбить на столь маленькие отрезки , чтобы на каждом из них силу можно было считать постоянной и равной некоторому значению (при этом неважно, в какой точке интервала берется значение ). Элементарная работа на участке равна , а полная работа при перемещении материальной точки из положения в положение определится как сумма работ на всех элементарных перемещениях: и.

Единицей работы в системе СИ является джоуль. Джоуль – работа силы в один ньютон на перемещении в один метр при условии, что направление силы совпадает с направлением перемещения: .

Для характеристики быстроты, с которой совершается работа, вводят величину, называемую мощностью. Мощность – это работа, совершаемая за единицу времени:

.

В пределе при мощность можно записать следующим образом:

.

Мощность измеряется в ваттах: 1 Вт = 1 .

ЭНЕРГИЯ

Наблюдения показывают, что при определенных условиях любым телом может быть совершена работа. Например, сила упругости, действующая со стороны сжатой или растянутой пружины на прикрепленное к ней тело, перемещает его и при этом совершает механическую работу. Может совершать работу и любое движущееся тело. Сталкиваясь с другим телом, оно действует на него силой и может вызвать перемещение этого тела или его деформацию. При этом тоже совершается механическая работа. Про тела, которые могут совершать работу, говорят, что они обладают энергией.

Совершая механическую работу, тело или система тел переходят из одного состояния в другое. При этом их энергия уменьшается. Деформированная пружина распрямляется, движущийся груз останавливается, то есть при совершении работы энергия постепенно расходуется. Для того чтобы тело или система тел вновь приобрели способность совершать энергию, необходимо изменить их состояние: деформировать пружину, поднять тело вверх, то есть совершить над системой положительную работу.

Если масса тела переменна, например в задаче о ракете, выбрасывающей часть массы в виде продуктов сгорания, то уравнение (2.12) использовать нельзя. Это уравнение относится к некоторому одному телу определенной массы. В случае же взлета ракеты (рис. 2.18) масса ракеты все время уменьшается, так как выбрасываются газы и в каждый данный момент надо рассматривать систему тел ракета - газы. Уравнение (2.12) следует заменить более общим уравнением (2.13), пригодным и для системы тел:

где R - равнодействующая всех внешних сил, действующих на систему извне, a dp - общее изменение импульса системы за время dt. Роль R играет в нашем случае сила тяжести F = mg (а при учете трения о воздух - и н).

Общий импульс всей системы р складывается из импульса ракеты и импульса газов р = р рак + р г, так что

За время dt импульс ракеты изменится на dp paK =(т - dm) dv ~ « т dv. Член второго порядка малости отбрасывается. Импульс выброшенных за время dt газов будет dp r = (pdt)u, где р - секундный расход топлива, а и - скорость истечения продуктов сгорания. Тогда (2.25) можно записать в виде

Это уравнение носит название уравнения Мещерского.

Нужно обратить особое внимание на знаки скоростей и сил. Выберем положительное направление оси х вверх (рис. 2.18, а). Рассмотрим взлет ракеты. Величины Р гяж и и надо взять с минусом, а скорость ракеты v и приращение этой скорости dv - с плюсом. Если использовать арифметические значения, то надо написать:

Заметим, что при jiu mg приращение dv будет равно или меньше нуля и ракета не взлетит.

При посадке ракеты надо уменьшать ее скорость так, чтобы в момент соприкасания с грунтом она была близка к нулю. Для этого ракета должна садиться «кормой вперед» и выбрасывать газы так, чтобы замедлять падение (рис. 2.18, б). При этом при выбранном направлении оси х скорость v dv > 0.

Выразим из последнего уравнения dv и возьмем интеграл. Для этого приведем в правой части все переменные к одной переменной ттг, используя dm = - р dt:

где т 0 и тп к - начальная и конечная массы ракеты, а и 0.

Это и дало основание Циолковскому использовать приближенную формулу

которая получила название формулы Циолковского (взято абсолютное значение и).

Пример 1. Ракета массой 300 т содержит 299 т горючего и 1 т полезного груза. Расход топлива ji = 10 3 кг/с, скорость истечения газов 4 км/с (постановка задачи сильно упрощена, не учитывается масса топливных баков и двигателей, кроме того, обычно ракеты делаются многоступенчатыми).

Найдем из (2.28) конечную скорость ракеты г? к:

Второе слагаемое в нашем примере приблизительно в 10 раз меньше первого.

Пример 2. Пусть ракета массой 300 т стартует с Земли. Найдем, через какое время она достигнет высоты 40 км, если каждую секунду будет выбрасывать 1000 кг продуктов сгорания со скоростью и = 4 км/с.

При решении этой задачи на движение тела переменной массы будем использовать формулу (2.26). Полученное дифференциальное уравнение легко решается аналитически (т. е. находятся формулы для v(t) и x(t)) только в том случае, если не учитывать трение и другие обстоятельства, например уменьшение силы тяжести с высотой. Приведем пример компьютерной программы, которая легко и просто справляется с любыми сложностями. Составляя программу, запишем приращение (убывание) массы за время dt:

приращение скорости

приращение пути

приращение времени

Учтем в программе зависимость силы тяготения от высоты. Программа составляется по следующему алгоритму:

1. Ввод известных параметров (постоянная тяготения, радиус Земли И др.):

• 2. Ввод начальных условий (t> = 0, т = ЗЕ5, t = 0).
• 3. Ввод шага по времени At.
• 4. Цикл наращивания переменных по уравнениям (2.29) - (2.31). В цикле должно быть предусмотрено условие окончания, например: «Если достигнута высота 10 км, то...».

Программа на простейшей версии Бейсика:

Print «Старт ракеты»

тЗ=5.96е24: г3=6.37е6: да=6.67е-11: и=~4еЗ

ти=1еЗ: h=4e4: тг=3е5

v=0: х=0

Print «Ждите!»

For t=0 to le4 Step dt

r=r3+x: mr-mr-mu^dt f=-ga*mr*m3/(r*r) v=v+(f-mu*u)*dt/mr: x=x+v*dt If x>=h then Goto 1

1:Print t

В пакете программ ПАКПРО это программа Perem_mStartr.bas.

При расчете по этой программе ответ получается очень скоро. Например, при подъеме до высоты 4 км v = 846 м/с, тпг = 182 т (т. е. будет израсходовано 118 т топлива), t = 118 с.

Можно использовать эту программу для получения дополнительной информации:

• - измените программу так, чтобы выяснить, на какой высоте масса ракеты приблизится к нулю (все горючее будет израсходовано);
• - измените в программе значение и. При какой скорости истечения газов ракета вообще не сможет подняться?
• - Постройте на одном графике (разными цветами или оттенками) кривые x(t), v(t) и mr(t).

В приведенном выше решении не было учтено трение об атмосферу; добавьте в программу силу трения FI = - Av, где А положите равным 10 Н*с/м. Еще лучше, если будет учтено, что трение зависит от плотности воздуха, т. е. что А зависит от давления А - А 0 р, где р - давление в Па, которое, в свою очередь, зависит от высоты по барометрической формуле:

Давление на уровне моря р 0 = 10 5 Н/м 2 .

В этом решении еще не было учтено вращение Земли и возникающая вследствие этого в системе, скрепленной с вращающейся Землей, сила Кориолиса (см. раздел 6 главы 2). При расчетах более длительного полета на большую высоту траекторию уже нельзя считать прямолинейной. Движение становится неодномерным. Попробуйте получить решение и в этом случае.

Пример 3. При появлении первых компьютеров очень популярной была задача о посадке на Луну. Эта задача имеет много вариантов разной сложности. Рассмотрим простейший.

Пусть лунный модуль массой 1 т приближается к Луне со скоростью 1 км/с с расстояния 50 км по прямой, соединяющей их центры.

На модуле есть топливо, продукты сгорания которого двигатель выбрасывает со скоростью и = 4 км/с. Как следует управлять расходом топлива (в кг/с), чтобы обеспечить мягкую посадку? (При сближении с поверхностью Луны скорость должна быть близка к нулю.)

Задача похожа на предыдущую, но нужно внимательно проследить за знаком скорости лунного модуля, а также за знаком скорости выбрасываемых продуктов сгорания (так, чтобы замедлять падение, а не ускорять его!).

Решение задачи зависит от желаемого режима посадки (движение равнозамедленное, неравнозамедленное, с минимальным расходом топлива, минимальным временем посадки и т. д.). Потребуем, например, чтобы перегрузки, испытываемые космонавтами или оборудованием, были постоянными в течение всего времени посадки, что возможно при равнозамедленном движении. Выберем ось х, направленную от ракеты к центру Луны (см. рис. 2.18). Пусть в начальный момент времени х = 0. Тогда скорость ракеты v и скорость газов - положительные величины. Для торможения реактивная струя направляется в сторону Луны. Ускорение а найдем из уравнения v 0 2 = -2aL . В нашем случае а = - 10 6 /(2*5* 10 4) = = - 10 м/с 2 , а скорость в любой момент времени равна: v = v 0 + at, так что Av = aAt. Сила притяжения к Луне будет равна: F = gmra L /(RL + L - х). Требуемый секундный расход топлива ц найдем из уравнения Мещерского:

(F >0; а 0; и > 0). Будем наращивать время малыми промежутками At и вычислять каждый раз F, }