Применение законов сохранения движение тел переменной массы. Движение тела переменной массы - файл n1.doc. Движение точки переменной массы

Уравнение движения тела с переменной массой

Под переменной массой будем понимать массу тел, которая при медленном движении тел меняется за счет потери или приобретения вещества.

Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой в свою очередь действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. На ракету действуют внешние силы: сила земной тяжести, гравитационное притяжение Солнца и планет, а также сила сопротивления среды, в которой движется ракета.

Рисунок 1.

Пусть $m(t)$- масса ракеты в произвольный момент времени $t$, а $v(t)$- ее скорость в тот же момент. Количество движения ракеты в этот момент времени будет $mv$. Спустя время $dt$ масса и скорость ракеты получат приращение $dm$ и $dv$ (величина $dm$ отрицательна). Количество движения ракеты станет равным $(m+dm)(v+dv)$. Сюда надо добавить количество движения газов, образовавшихся за время $dt$. Оно равно $dm_{газ} v_{газ} $, где $dm_{газ} $- масса газов, образовавшихся за время $dt$, а $v_{газ} $- их скорость. Вычитая из суммарного количества движения в момент $t+dt$ количество движения системы в момент времени $t$, найдем приращение этой величины за время $dt$. Это приращение равно $Fdt$, где $F$- геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету. Таким образом:

$(m+dm)(v+dv)+dm_{газ} v_{газ} -mv=Fdt$. (1)

Время $dt$ и приращения $dm$ и $dv$ устремим к нулю, т.к. нас интересуют предельные отношения или производные $dm/dt$ и $dv/dt$. Поэтому, раскрывая скобки, можно отбросить произведение $dm\cdot dv$, как бесконечно малую высшего порядка. Далее, ввиду сохранения массы, $dm+dm_{газ} =0$. Пользуясь этим, можно исключить массу газов $dm_{газ} $. А разность $v_{отн} =v_{газ} -v$ есть скорость истечения газов относительно ракеты -- скорость газовой струи. С учетом этих замечаний уравнение (1) преобразуется к виду:

$mdv=v_{отн} dm+Fdt$. (2)

Разделив на $dt$, получаем:

$m\frac{dv}{dt} =v_{отн} \frac{dm}{dt} +F$. (3)

Уравнение Мещерского

По форме уравнение (3) совпадает с уравнением, выражающим второй закон Ньютона. Однако масса тела $m$здесь не постоянна, а меняется во времени из-за потери вещества. К внешней силе $F$ добавляется дополнительный член $v_{отн} \frac{dm}{dt} $, который может быть истолкован как реактивная сила, т.е. сила, с которой действуют на ракету вытекающие из нее газы. Уравнение (3) впервые было получено русским механиком И. В. Мещерским. Оно, так же как и эквивалентное ему уравнение (2), называется уравнением Мещерского или уравнением движения точки с переменной массой.

Формула Циолковского

Применим уравнение (2) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая $F=0$, получим:

Допустим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости газовой струи $v_{отн} $. Если направление полета принять за положительное, то проекция вектора $v_{отн} $ на это направление будет отрицательной и равной $-v_{отн} $. Поэтому в скалярной форме предыдущее уравнение можно записать так $mdv=v_{отн} dm$. Тогда:

$\frac{dv}{dm} =-\frac{v_{отн} }{m} $ (4)

Скорость газовой струи $v_{отн} $ может меняться во время полета. Однако простейшим и наиболее важным является случай, когда она постоянна. Предположение о постоянстве сильно облегчает решение уравнения (4). В этом случае:

Значение постоянной интегрирования С определяется начальными условиями. Допустим, что в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее масса равна $m_{0} $. Тогда из предыдущего уравнения получаем:

$C=v_{отн} \ln \frac{m_{0} }{m} $ тогда: $v=v_{отн} \ln \frac{m_{0} }{m} $ или $\frac{m_{0} }{m} =e^{\frac{v}{v_{отн} } } $

Последнее соотношение называется формулой Циолковского .

Величина достигаемой ракетой максимальной скорости не зависит от времени сгорания топлива.

Оптимальным путем изменения достигаемой максимальной скорости является увеличение относительной скорости истечения газов.

Для получения первой космической скорости при меньшем соотношении между массой ракеты и требуемой массы топлива целесообразно использование многоступенчатых ракет.

Примеры

Пример 1

Космический корабль двигался с постоянной по величине скоростью $v$. Для изменения направления его полета включается двигатель, выбрасывающий струю газа со скоростью $v_{отн} $ относительно корабля в направлении, перпендикулярном к его траектории. Определить угол $\alpha $, на который повернется вектор скорости корабля, если начальная масса его $m_{0} $, а конечная $m$.

Дано: $v$, $v_{отн} $, $m_{0} $, $m$.

Найти: $\alpha $-?

Решение:

Ускорение корабля по абсолютной величине равно:

$a=\omega ^{2} r=\omega v$, причем $v=const$. Поэтому уравнение движения:

$m\frac{dv}{dt} =v_{отн} \frac{dm}{dt} $ переходит в: $mv\omega dt=-v_{отн} dm$.

Так как $d\alpha =\omega dt$ есть угол поворота за время $dt$, интегрируя наше уравнение, получим:

\[\alpha =\frac{v_{отн} }{v} \ln \frac{m_{0} }{m} .\]

Ответ: угол поворота вектора скорости равен: $\alpha =\frac{v_{отн} }{v} \ln \frac{m_{0} }{m} $

Пример 2

Ракета перед стартом имеет массу $m_{0} =250$кг. На какой высоте окажется ракета через $t=20$с после начала работы двигателей? Расход топлива равен $\mu =4$кг/с и скорость истечения газов относительно ракеты $v_{отн} $$=1500$м/с постоянны. Поле тяготения Земли считать однородным.

Дано: $m_{0} =250$кг, $t=20$с, $\mu =4$кг/с, $v_{отн}=1500$м/с.

Найти: $H$-?

Решение:

Рисунок 2.

Запишем уравнение Мещерского в однородном поле тяготения Земли в виде:

где $m=m_{0} -\mu t$, а $v_{0} $- скорость ракеты в момент времени $t$. Разделяя переменные получаем:

\[\Delta v_{0} =(\frac{\mu v_{отн} }{m_{0} -\mu t} -g)\Delta t\]

Решение данного уравнения, удовлетворяющего начальному условию $v_{0} =0$ при $t=0$, имеет вид:

Учитывая что $H_{0} =0$ при $t=0$ получим:

Подставляя начальные значения, получаем:

$H=v_{отн} t-\frac{gt^{2} }{2} +\frac{v_{отн} m_{0} }{\mu } (1-\frac{\mu t}{m_{0} })\ln (1-\frac{\mu t}{m_{0} })=3177,5$м

Ответ: через $20$с ракета окажется на высоте $H=3177,5$м.

2.5. Уравнение движения тела переменной массы

Особо следует сказать о динамике движения тела, масса которого изменяется за счет присоединения или отделения частиц. Например, масса падающей дождевой капли изменяется вследствие испарения молекул или, наоборот, их конденсации, масса ракеты или самолета изменяется за счет выбрасывания продуктов сгорания; в принципе, к телам с изменяющейся массой можно отнести автомобиль, тепловоз и т.д.

2. Движение тела переменной массы в общем случае может изменяться, во-первых, за счет воздействия внешних сил, во-вторых, за счет взаимодействия тела с отделяющимися (или присоединяющимися) частицами. У одних тел решающую роль в изменении скорости играют внешние силы (автомобиль, тепловоз, винтовой самолет), у других – силы, возникающие при взаимодействии с отделяющимися частицами (реактивный самолет, ракета).

Закономерности движения тел переменной массы были подробно исследованы И.В.Мещерским и К.Э.Циолковским.

Силы, возникающие при отделении (или присоединении) частиц, называются реактивными.

Можно доказать в самом общем случае, что величина и направление реактивной силы, возникающей при отделении (или присоединении) частиц, зависит: 1) от быстроты изменения массы тела (в случае присоединения частиц масса тела увеличивается, поэтому>0, в случае отделения частиц масса тела уменьшается, поэтому<0);

2) от величины и направления скорости (относительно тела), с которой частицы покидают тело или присоединяются к нему:=. (10.1)

Как видно из этой формулы, реактивная сила, действующая на тело, совпадает по направлению с направлением , если частицы

присоединяются , и противоположна этой относительной скорости,

если частицы отделяются.

Поскольку на тело переменной массы всегда действует не только реактивная сила, но также и внешние силы (например, на ракету действует сила притяжения к Земле, Солнцу, сопротивление атмосферы и т.д.), ускорение такого тела будет определяться результирующей внешних и реактивных сил:

, (10.2)

здесь
- масса тела в данный момент времени;- внешняя сила;

- реактивная сила

Учитывая (10.1), соотношение (10.2) , можно переписать:

. (10.3)

Последнее соотношение носит название уравнения Мещерского. Оно позволяет решать ряд важных прикладных задач механики.

11 Третий закон ньютона

1. Опыт показывает, что воздействие одного тела на другое никогда не является односторонним. Если тело 1 действует на тело 2 с силой
, то, в свою очередь, тело 2 действует на тело 1 с силой, причем силы взаимодействия равны по величине и противоположны по направлению (рис.10):

= -. (11.1)

В этом и заключается суть третьего закона Ньютона: силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по величине и противоположны по направлению.

2. Одну из сил взаимодействия обычно называют силой «действия», другую – силой «противодействия». Не следует, однако, думать, что «действие» и «противодействие» чем-либо принципиально отличаются друг от друга. Обе силы совершенно равноправны и имеют одинаковую природу. Так, если «действующая» сила обусловлена упругой деформацией, то сила «противодействия » обусловлена также деформацией другого тела, с которым данное тело взаимодействует, если сила «действия» имеет гравитационное происхождение, то «противодействие» вызвано той же причиной и т.д. Любую из сил мы вправе назвать «действующей» и любую – «противодействующей».

Изучая движение какого-либо тела, мы обычно указываем только те силы, которые действуют на это тело, и отвлекаемся от сил, приложенных к другим телам. Но эти силы существуют, и забывать о них, вообще говоря, не следует. Они позволяют лучше понять происхождение той или иной силы. Следует всегда помнить, что за каждой силой стоит реальное тело, с которым данное тело взаимодействует. Указывая силу, мы тем самым всегда указываем на два тела , которые взаимодействуют друг с другом.

Так как силы действия и противодействия приложены к разным телам, то они не могут уравновесить друг друга.

Если заменить силы в формуле (11.1) в соответствии со вторым законом Ньютона произведениями масс на ускорения, то третий закон Ньютона будет иметь вид:

или
, (11.2)

т.е. ускорения, сообщаемые друг другу взаимодействующими телами, обратно пропорциональны их массам и направлены в противоположные стороны.

Из третьего закона Ньютона непосредственно вытекает одно важное следствие: взаимодействие двух тел не может вызвать их перемещение в одном направлении.

Чтобы оба взаимодействующих тела пришли в движение в одном направлении, необходимо, чтобы на одно из тел или на оба одновременно подействовало третье тело.

ХАРАКТЕРИСТИКА НЕКОТОРЫХ СИЛ,

РАССМАТРИВАЕМЫХ В МЕХАНИКЕ

Дадим краткую характеристику сил, рассматриваемых в механике.

1. Упругая сила – сила, возникающая при деформации тела, т.е. при изменении его формы или объема, обусловленном действием внешни х сил.

Если после прекращения действия внешней силы, вызвавшей деформацию, тело полностью восстанавливает свою первоначальную форму и размеры, оно называется упругим. Упругими называются и деформации, возникающие в таком теле. Упругие тела обладают способностью оказывать сопротивление изменению их формы и объема. В таких телах возникают внутренние силы, препятствующие дальнейшему смещению частиц деформируемого тела, в результате чего внешние силы оказываются уравновешенными.

Для упругих деформаций справедлив закон Гука: упругая сила, возникающая при деформации (например, при сжатии или растяжении), пропорциональна величине деформации:

, (12.1)

величина смещения (растяжения или сжатия);

проекция упругой силы на направление смещения.

Знак «минус» означает, что направление упругой силы всегда противоположно направлению смещения частиц тела (рис.11).

- так называемый коэффициент упругости – константа, характеризующая и вещество, и «геометрию» тела – его форму, размеры и т.д.

2. Сила всемирного тяготения - сила взаимногопритяжения, действующая между любыми материальными телами или частицами,

обусловлена гравитационным взаимодействием материальных тел.

Если размеры тел малы по сравнению с расстоянием между ними

(материальные точки) или имеют сферическую форму и однородны, сила тяготения между ними численно равна

, (12.2)

(закон всемирного тяготения Ньютона), где и- массы тел;- расстояние между телами (в случае шаров – расстояние между центра-ми шаров);- гравитационная постоянная.

Так как размеры обычных тел малы по сравнению с радиусом Земли и так как Земля по своей форме близка к шару, силу земного тяготения, действующую на тело массой
, можно вычислить по формуле:

, (12.3)

где
- масса Земли;- расстояние от тела до центра Земли.

3. Сила тяжести - отвесная составляющая силы земного тяготения (на Луне – лунного тяготения и т.д.).

Сила тяжести во всех точках земной поверхности, кроме полюсов и экватора, не совпадает с силой тяготения по направлению и во всех точках, кроме полюсов, меньше ее по величине.

Объяснение. Пусть некоторое тело лежит на поверхности Земли в точке, находящейся на широте (рис.12). На тело действует сила тяготенияи реакция опоры(эта сила обусловленаупругостью опоры). Равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение (тело вследствие вращения Земли вокруг своей оси движется по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной земной оси).Реакция опоры уравновешивает не силу тяготения , а ее составляющую, которая и называется силой тяжести.

Как видно из рис.12, силы ине равны по величине и не совпадают по направлению.

4. Вес тела – это сила, с которой тело давит на горизонтальную опору или натягивает вертикальный подвес.

Причиной возникновения этой силы являются упругие деформации, появляющиеся при взаимодействии тела и опоры (деформации тела и опоры могут быть вызваны действием сил тяготения или каких-либо других сил).

Опыт показывает, что любое тело оказывается деформированным, если оно движется относительно Земли с ускорением ,не равным ускорению свободного падения . Это ускорение, в частности, может

быть равно нулю , т.е. тело либо покоится относительно Земли, либо равномерно и прямолинейно движется.

Будучи деформированным, стремясь восстановить свою первоначальную форму, тело давит на опору с вполне определенной силой, которую и называют весом тела - .

Численно значение веса может значительно отличаться от числен-ного значения силы тяжести (мы говорим лишь о численных значениях этих сил потому, что они приложены к разным телам!). В одних случаях вес может быть больше силы тяжести (например, в космических кораблях во время разгона), в других – меньше ее (например, в самолетах при «проваливании» в воздушные «ямы»).

Вес тела может быть равен нулю. Это особое состояние , при котором тело не оказывает давления на опору (становится невесомым), называется невесомостью . В этом состоянии тело свободно от деформаций. Единственной силой, которая продолжает действовать на тело в состоянии невесомости, является сила тяготения.

Если тело и опора покоятся относительно Земли, то сила тяжести и вес тела численно равны! Это используется при нахождении силы тяжести тела.

Определив силу, с которой тело растягивает пружину неподвижного динамометра или давит на чашку неподвижных весов, т.е. его вес , мы тем самым найдем и численное значение силы тяжести. Поэтому, когда задают вес тела, например,
10 Н, то, в конечном счете, задают его силу тяжести=10H.

5. Давление тела на опору приводит к его деформации. Будучи деформированной, опора оказывает действие на тело. Это действие проявляется в возникновении так называемой реакции опоры, которую принято раскладывать на две составляющие – нормальную реакцию опоры и силу трения. Нормальная реакция опоры - это упругая сила, действующая со стороны опоры на тело в направлении, пер-пендикулярном плоскости соприкосновения тела и опоры (Если тело подвешено, то реакция подвеса направлена вдоль подвеса). Реакция опоры зависит от степени деформации опоры.

Если опора горизонтальна , то нормальная реакция опоры и вес тела являются по отношению друг к другу силами действия и противодействия. Следовательно, определив из условий движения силу, с которой такая опора действует на тело, мы найдем, с какой силой тело давит на опору, т.е. его вес.

Рассмотрим пример.

На тело, помещенное в кабине лифта (рис.13), действует сила тяжести и реакция опоры. При движении лифта с ускорением, направленным вертикальновверх , второй закон динамики для тела запишется в виде

, (12.4)

откуда сила
, а стало быть, и вес телабудут равны

(12.5)

При таком направлении ускорения (не движения, а ускорения!) вес тела оказывается больше силы тяжести (
.

Если ускорение направлено вертикально вниз, то реакция опоры и вес тела оказы-ваются меньше силы тяжести:

. (12.6)

В состоянии невесомости вес и реакция опоры равны нулю, единственной силой, сообщающей и телу, и опоре ускорение, будут иметь вид
, но
. Следовательно, в состоянии невесомости тела двигаются с ускорением=.

6. Силы трения возникают при движении твердых тел, жидкостей и газов. Различают сухое (или внешнее) и вязкое (или внутреннее) трение. Сухое трение возникает при относительном перемещении соприкасающихся твердых тел, вязкое трение – при движении жидкостей и газов. В зависимости от характера перемещения одного твердого тела по поверхности другого различают трение скольжения и трение качения.

Сила трения скольжения возникает при скольжении одного тела по поверхности другого. Направлена эта сила по касательной к плоскости соприкосновения тел в сторону, противоположную направлению относительного движения.

Сила трения качения – сила, возникающая при качении одного тела по поверхности другого.

Сухое трение может возникнуть и между неподвижными телами – так называемое трение покоя.

Сила трения покоя (неполная сила трения) возникает тогда, когда внешняя сила, действующая на тело в плоскости соприкосновения, недостаточна для того, чтобы вызвать его скольжение.

Сила трения покоя всегда равна по величине и противоположна по направлению этой внешней силе .

Сила трения покоя максимальна, когда тело находится на грани скольжения.

Численное значение максимальной силы трения покоя определяется из закона Кулона :

, (12.7)

где - коэффициент, зависящий от свойств поверхностей соприкосновения и определяемый экспериментально (коэффициент трения);

- сила нормального давления опоры на тело (нормальная реакция опоры).

Если внешняя сила достигает значения, чуть-чуть превышающего
, начинается скольжение.

Силу трения скольжения при малых скоростях движения можно приближенно вычислить по формуле (12.7).

Существенным отличием вязкого трения от сухого является то, что в жидкостях и газах трение покоя отсутствует . Если тело, погруженное в жидкость или газ, покоится, то со стороны жидкости или газа на тело могут действовать только силы, направленные перпендикулярно к поверхности соприкосновения.

Сила вязкого трения зависит от скорости (при небольших скоростях она пропорциональна первой степени скорости, при больших скоростях – более высоким степеням скорости).

13 МЕХАНИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ

1. Механический принцип относительности Галилея отвечает на вопрос: одинаково ли протекают механические процессы (при одинаковых условиях) в разных инерциальных системах. Иными словами, влия-ет ли равномерное и прямолинейное движение системы на ход механических процессов, происходящих внутри системы?

Чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо сравнить вид основных законов механики в разных инерциальных системах. Если окажется, что законы механики не изменяют своего вида при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, то это и будет означать, что механические явления протекают во всех инерциальных системах одинаково.

2. Для того чтобы осуществить переход от одной инерциальной системы отсчета к другой, мы должны знать правила , по которым осуществляется преобразование координат и времени, а также правила сложения скоростей, ускорений, сил и т.д. Преобразования координат и времени, в основе которых лежат классические представления о пространстве и времени , называются преобразованиями Галилея.

3. Рассмотрим две инерциальные декартовы системы координати
. Будем полагать условно, что одна из систем покоится (система), а другая (
) равномерно и прямолинейно движется относительно первой со скоростью. Из соображений простоты будем считать, что в начальный момент времени (t =0 ) начала координат обеих систем и направления соответствующих осей совпадают (рис.14)

Движение системы
происходит вдоль осиX неподвижной системы без поворота осей
и
(во время движения системы
` осии
,и
остаютсяпараллельными друг другу).

Найдем связь между координатами одной и той же материальной точки M в этих двух системах. Пусть положение точки относительно движущейся системы в некоторый момент времени определяется радиус-вектором , относительно неподвижной -(рис. 15), перемещение системы
относительно системыза промежуток времениt , прошедший от начального момента до рассматриваемого, определяет радиус-вектор .

По правилам векторного сложения

=+(13.1)

Перемещение подвижной системы

=. (13.2)

Тогда =+,

Откуда =-. (13.3)

Спроектировав все векторы соотношения (13.3) на оси координат, мы найдем связь между компонентами векторов и:

(Так как
);(13.4)

К этим формулам следует добавить формулу преобразования времени. Классическая механика, как уже говорилось, полагает, что время абсолютно. Это значит, что показания двух часов, связанных с системами и
, и выверенных (синхронизированных ) для начального момента, должны быть одинаковыми для любых последующих моментов:
. (13.5)

Соотношения (13.3) – (13.5) и называются преобразованиями Галилея.

4 Из преобразований Галилея вытекает закон сложения скоростей в классической механике.

Продифференцируем (13.3) по времени:

, где
- скорость точкиотносительно движущейся системы координат;
- скорость точкиотносительно «неподвижной» системы.

В природе и современной технике мы нередко сталкиваемся с движением тел, масса которых меняется со временем. Масса Земли возрастает вследствие падения на нее метеоритов, масса метеорита при полете в атмосфере уменьшается в результате отрыва или сго­рания его частиц, масса дрейфующей льдины возрастает при намер­зании и убывает при таянии и т. д. Движение якоря с якорной цепью, когда все большее число звеньев цепи сходит с лебедки,- пример движения тела переменной массы. Ракеты всех систем, реактивные самолеты, реактивные снаряды и мины также являются телами, масса которых изменяется во время движения.

Общие законы динамики тел с переменной массой были открыты и исследованы И. В. Мещерским и К. Э. Циолковским. Циолков­ским были разработаны фундаментальные проблемы реактивной техники, которые в наши дни служат основой для штурма человеком межпланетных пространств.

Для вывода основного уравнения движения тела переменной массы рассмотрим конкретный случай движения простейшей ра­кеты (рис. 4).

Мы будем рассматривать ракету как достаточно малое тело, положение центра тяжести которого не меняется по мере сгорания пороха. В этом случае мы можем считать ракету материальной точ­кой переменной массы, совпадающей с центром тяжести ракеты.

Не рассматривая физико-химическую природу сил, возникаю­щих при отбрасывании от ракеты газов, образованных при сго­рании пороха, сделаем такое упрощающее вывод предположение: будем считать, что отбрасываемая от ракеты частица газа dM взаимодействует с ракетой М только в момент их непосредственного контакта. Как только частица dM приобретает скорость относитель­но точки М, ее воздействие на нее прекращается. Предположим далее, что изменение массы ракеты М происходит непрерывно, без скачков. (Это значит, что мы не рассматриваем многоступен­чатые ракеты, масса которых меняется скачкообразно.) Это пред­положение позволяет считать, что существует производная от мас­сы по времени.

Пусть в момент t масса ракеты М, а ее скорость относительно неподвижной системы координат(рис. 5). Положим, за время dt от ракеты отделилась частица массы (-dM) со скоростью (относи­тельно той же неподвижной системы координат), равной и. Знак «минус» перед приращением массы указывает на то, что приращений это отрицательное, масса ракеты убывает.

Положим, равнодействующая внешних сил, действующих на ракету (силы тяжести и сопротивления среды), F. Как сказано выше, в момент отделения частицы массы (-dM) между ней и ра­кетой действует неизвестная нам реактивная сила Fp. Сила Fp для системы ракета - частица является внутренней. Чтобы исключить

ее из рассмотрения, воспользуемся законом изменения количества движения. Количество движения системы ракета - частица в момент t , т. е. перед отделением частицы:

Количество движения системы в момент t+dt (после отделения частицы) складывается из количества движения массы [М-(-dM)], получившей скорость (
), и количества движения массы частицы - dM, летящей со скоростью :

Изменение количества движения системы за время dt:

Величина dP должна быть приравнена импульсу равнодействующей внешних сил

Отсюда, перегруппировав члены и разделив на dt, получим ос­новное уравнение движения точки переменной массы:

(22)

Это уравнение иначе называют уравнением Мещерского. Для ракеты <0, так как при полете масса ее убывает. Если масса тела во время движения увеличивается, то> 0. При=0 уравнение (22) переходит в уравнение второго закона Нью­тона для случая постоянной массы.. Величина u -есть скорость выбрасываемых ракетой частиц относительно системы координат, движущейся с ракетой. Эту скорость называют обычно просто относительной скоростью V. Тогда равенство (22) запишется в виде

(23)

Для любого момента времени произведение массы те­ла на его ускорение равно векторной сумме равнодействующей приложенных к телу внешних сил и реак­тивной силы. При движении ракеты вблизи Земли равнодействую­щая внешних сил представляет собой сумму силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Ускорение ракеты зависит еще и от реактивной силы, изменяя величину и направление которой мож­но управлять полетом ракеты.

Если относительная скорость отбрасываемых частиц равна 0, то следует

M

Важный вклад в механику тел переменной массы применительно к конкретным задачам реактивной техники внесен знаменитым рус­ским ученым Константином Эдуардовичем Циолковским. В 1903 г. была издана его работа «Исследование мировых пространств ре­активными приборами», в которой К. Э. Циолковский исследовал ряд случаев прямолинейных движений ракет. К. Э. Циолковским обоснована и доказана возможность практического использования реактивного движения. Им найдены условия, при которых можно получить скорости, достаточные для осуществления космического полета. Полученная им формула, связывающая скорость ракеты с ее начальной массой, до сих пор используется для предваритель­ных расчетов. В работах 1911-1914 гг. он изучил вопрос о вели­чине запасов топлива, необходимых для преодоления сил тяготения Земли, и предложил высококалорийное топливо, позволяющее получить большие скорости истечения газовых струй. К. Э. Циол­ковского по праву считают изобретателем жидкостных ракет даль­него действия и основоположником теории межпланетных полетов.

Ему принадлежит идея разработки теории так называемых многоступенчатых ракет, когда на некоторых интервалах времени масса ракеты меняется непрерывно, а в некоторые моменты - скачком.

Им проведены большие исследования по оценке сил сопро­тивления при движении тел переменной массы. К. Э. Циолковским поставлен целый ряд оригинальных проблем, имеющих решающее значение для развития реактивной техники.

Для того чтобы выяснить основные факторы, создающие воз­можность реактивного движения с большими скоростями, рас­смотрим движение точки переменной массы в безвоздушном про­странстве (отсутствует сопротивление движению тела), без действия внешних сил (силы тяготения). Предположим, что скорость исте­чения частиц направлена прямо противоположно вектору скорости

тела . Эти условия соответствуют так называемой первой задаче Циолковского. В результате получаем формулу Циолковского и следствие из нее. Найдем при сделанных предположениях скорость движения тела (точки) и закон ее движения.

При сформулированных условиях уравнение движения приобре­тает вид:

M
(25) или

(26)

Положим, M=Mof(t), где f(t)- функция, определяющая закон изменения массы.)=1. Подставив в (26) значение М и проинтегрировав, получим:

Для определения постоянной С учтем, что при t==0 f(0)=1 и
, тогда C=и

Эта формула носит название формулы Циолковского. Из формулы следует, что скорость, приобретенная точкой переменной массы, зависит от относительной скорости V и отношения начальной массы к остающейся к концу процесса горения. Если масса точки в конце процесса горения M, а отброшенная масса (масса топлива)-m, то при нулевой начальной скорости получаем для расчета скорости в конце процесса горения выражение:

Отношение
называют числом Циолковского. Для современ­ных ракет можно положитьV=2000 м/сек. Тогда при числе Циол­ковского Z=0,250; 9,000; 32,333; 999,000 получим соответственноcкорости=446; 4605; 7013; 13 815 м/сек. Из формулы Циолковcкого (27) следует, что:

1) скорость точки переменной массы в конце активного участка тем больше, чем больше скорость отбрасывания частиц;

2) скорость в конце активного участка тем больше, чем больше скорость отбрасывания частиц число Циолковского;

3)скорость точки переменной массы в конце активного участка не зависит от закона изменения массы (режима горения). Задан­ному числу Циолковского соответствует определенная скорость точки в конце процесса горения независимо от того, быстро или медленно шло горение. Это следствие является проявлением за­кона сохранения количества движения;

4)для получения возможно больших скоростей точки перемен­ной массы в конце активного участка выгоднее идти по пути уве­личения относительной скорости отбрасывания частиц, чем по пути увеличения запасов топлива.

Из уравнения (27) можно найти закон изменения расстояния излучающей точки от начала координат; полагая V=const, полчим:

после интегрирования:

s=s+t-V
(29)

Отсюда следует, что закон расстояния в отличие от закона скорости зависит от закона изменения массы, т. е. от функции f(t).

Лекция № 8. Работа силы, мощность энергия. Консервативные и неконсервативные силы и системы. Независимость работы консервативной силы от траектории. Кинетическая энергия. Потенциальная энергии. Связь силы с потенциальной энергией. Закон сохранения механической энергии в консервативной системе. Внутренняя энергия. Закон сохранения энергии в неконсервативной системе. Применение законов сохранения импульса и энергии при анализе упругих и неупругих ударов.

Если под действием некоторой силы тело совершает элементарное перемещение
, то говорят, что сила совершает элементарную работу
(рис. 1). Вектор силы можно разложить на две составляющие, одна из которыхсовпадает по направлению с вектором перемещения, другаяперпендикулярна ему.

Очевидно, что перемещать тело, а, следовательно, совершать работу будет только составляющая силы . Таким образом, элементарная работа

где  – угол между вектором силы и элементарным перемещением.

Так как скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними, то

Для того чтобы определить работу по всей траектории движения, необходимо просуммировать работы на каждом элементарном участке

. (3)

Единицей работы в СИ служит работа, совершаемая на пути в один метр с силой в один ньютон, действующей в направлении перемещения. Эта единица называется джоулем (Дж), т.е. 1 Дж = 1 Н1 м.

Заметим, что в джоулях измеряется также энергия, количество теплоты.

Работа, совершаемая в единицу времени, называется мощностью:

Единицей мощности в СИ является ватт (Вт) – это такая мощность, при которой за одну секунду совершается работа, равная одному джоулю, т. е. 1 Вт = 1 Дж/1с. Заметим, что 1 кВт = 10 3 Вт, 1 МВт = 10 6 Вт, 1 ГВт = 10 9 Вт (приставка М читается как «мега», а приставка Г – как «гига»). В технике иногда применяется единица мощности, именуемая лошадиной силой (л. с.) и равная 736 Вт.

Все силы, встречающиеся в механике, принято разделять на консервативные и неконсервативные.

Сила, действующая на материальную точку, называется консервативной (потенциальной), если работа этой силы зависит только от начального и конечного положений точки. Работа консервативной силы не зависит ни от вида траектории, ни от закона движения материальной точки по траектории (см. рис. 2):
.

Изменение направления движения точки вдоль малого участка на противоположное вызывает изменение знака элементарной работы
, следовательно,
. Поэтому работа консервативной силы вдоль замкнутой траектории 1a 2b 1 равна нулю: .

Точки 1и 2, а также участки замкнутой траектории 1a 2 и 2b 1 можно выбирать совершенно произвольно. Таким образом, работа консервативной силы по произвольной замкнутой траектории L точки ее приложения равна нулю:

или
. (5)

В этой формуле кружок на знаке интеграла показывает, что интегрирование производится по замкнутой траектории. Часто замкнутую траекторию L называют замкнутым контуром L (рис. 3). Обычно задаются направлением обхода контура L по ходу часовой стрелки. Направление элементарного вектора перемещения
совпадает с направлением обхода контураL . В этом случае формула (5) утверждает: циркуляция вектора по замкнутому контуру L равна нулю .

Следует отметить, что силы тяготения и упругости являются консервативными, а силы трения неконсервативными. В самом деле, поскольку сила трения направлена в сторону, противоположную перемещению или скорости, то работа сил трения по замкнутому пути всегда отрицательна и, следовательно, не равна нулю.

Е
сли на материальную точку действует консервативная сила, то можно ввести скалярную функцию координат точки
, называемую потенциальной энергией.

Потенциальную энергию определим следующим образом

, (6)

где С – произвольная постоянная, а
– работа консервативной силы при перемещении материальной точки из положения в фиксированное положение. Образуем разность значений потенциальной энергии для точек 1 и 2 (см. рис. 4) и воспользуемся тем, что

Правая часть, полученного соотношения, дает работу, совершаемую на пути из точки 1

Следовательно, работа консервативных сил равна разности значений функцииW n в начальной и конечной точках пути, т.е. убыли потенциальной энергии.

Потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной. Однако, это не имеет существенного значения, поскольку во все физические соотношения входит либо разность значений потенциальной энергии, либо ее производная по координатам.

Рассмотрим систему, состоящую из многих материальных точек. Если задано положение каждой материальной точки, то этим определено и положение всей системы или ее конфигурация. Если силы, действующие на материальные точки системы, зависят только от конфигурации системы (т.е. только от координат материальных точек) и сумма работ этих сил при перемещении системы из одного положения в другое не зависит от пути перехода, а определяется только начальной и конечной конфигурациями системы, то такие силы называются консервативными. В этом случае для системы материальных точек также можно ввести понятие потенциальной энергии системы, обладающей свойством (7):
, (8)

где
- полная работа консервативных сил, действующих на материальные точки системы при переходе ее из конфигурации 1 в конфигурацию 2;
и
- значения потенциальной энергии системы в этих конфигурациях.

Связь между силой, действующей на тело в данной точке поля, и его потенциальной энергией определяется по следующим формулам:

или
, (10)

где
– называется градиентом скалярной функции
;
– единичные векторы координатных осей;

Часто формулу (9) записывают также в виде
, где– оператор набла, определяемый по формуле (11).

Обозначим через х растяжение пружины, т.е. разность длин пружины в деформированном и недеформированном состояниях.

При возвращении пружины из деформированного состояния в недеформированное сила совершает работу.

. (12)

Таким образом, потенциальная энергия упруго деформированной пружины

. (13)

На рис. 5 изображены две материальные точки массы m 1 иm 2 . Положение их характеризуется радиусами-векторамиисоответственно. Элементарная работа, совершаемая силами гравитационного притяжения этих точек, где
– сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй, а
– сила, действующая на вторую м
атериальную точку со стороны первой; согласно 3-му закону Ньютона
=-
;и
– элементарные перемещения материальных точек. С учетом этого, где
. Учитывая, что
и
противоположно направлены и что величина
, находим. Полная работа

где R 1 иR 2 – начальное и конечное расстояние между материальными точками.

Эта работа равна изменению потенциальной энергии A = W n 1 - W n 2 . Учитывая (14), находим, что потенциальная энергия гравитационного притяжения двух материальных точек

или
(15)

где R или r – расстояние между материальными точками.

Формула (15) справедлива также для однородных сферических тел; в этом случае r – расстояние между центрами масс таких тел. В частности, потенциальная энергия тела массыт , находящегося в поле гравитации Земли, масса которойМ ,

(16)

Изменение потенциальной энергии тела массы m , поднятого с поверхности Земли (r = R , гдеR – радиус Земли) на высотуh (r = R + h ), согласно (16), равно:

(17)

Если h << R , то в знаменателе формулы (17) можно пренебречь слагаемымh и она перейдет в известную формулу

или
, (18)

если потенциальную энергию на поверхности Земли принять равной нулю,где
– ускорение силы тяжести на поверхности Земли. Таким образом, формула (18) была получена в предположении, что сила тяжести (и ускорение силы тяжести) не изменяются с высотойh , т.е. поле силы тяжести Земли однородно. Поэтому формула (18) является приближенной формулой, в отличие от строгой формулы (16).

Напишем уравнение движения материальной точки (частицы) массы m , движущейся под действием сил, результирующая которых равна:
.

Умножим скалярно правую и левую часть этого равенства на элементарное перемещение точки
, тогда

. (1)

Так как
, то легко показать, чтоИспользуя последнее равенство и то обстоятельство, что масса материальной точки постоянная величина, преобразуем (1) к виду
.

Проинтегрировав части этого равенства вдоль траектории частицы от точки 1 до точки 2, имеем:

.

Согласно определению первообразной и формуле (4.3) для работы переменной силы, получим соотношение:
.

Величина

называется кинетической энергией материальной точки.

Таким образом мы приходим к формуле

, (3)

из которой следует, что работа результирующей всех сил , действующих на материальную точку, расходуется на приращение кинетической энергии этой частицы.

Полученный результат без труда обобщается на случай произвольной системы материальных точек.

Кинетической энергией системы называется сумма кинетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит или на которые ее можно мысленно разделить:
.

Напишем соотношение (3) для каждой материальной точки системы, а затем все такие соотношения сложим. В результате снова получим формулу, аналогичную (3), но для системы материальных точек.

, (4)

где
и
– кинетические энергии системы, а под
необходимо понимать сумму работ всех сил, действующих на материальные точки системы.

Таким образом мы доказали теорему (4): работа всех сил, действующих на систему материальных точек, равна приращению кинетической энергии этой системы.

Рассмотрим систему из n материальных точек, на которые действуют как консервативные так и неконсервативные силы. Найдем работу, которую совершают эти силы при перемещении системы из одной конфигурации в другую. Работа консервативных сил может быть представлена как убыль потенциальной энергии системы
[(см. 4.8)]:

Работу неконсервативных сил обозначим посредством А *. Согласно (4) суммарная работа всех сил затрачивается на приращение кинетической энергии системы
, следовательно,или

Сумма кинетической и потенциальной энергии представляет собой полную механическую энергию Е системы:

. (5)

Таким образом

. (6)

Очевидно, что если неконсервативные силы в системе отсутствуют, т.е.
, то ее полная механическая энергия остается постоянной (сохраняется) т.е. Е = const . Эту теорему называют законом сохранения механической энергии, он утверждает:полная механическая энергия системы материальных точек, находящихся под действием консервативных сил остается постоянной.

В такой системе могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно, но полный запас энергии системы измениться не может. При наличии неконсервативных сил (например, сил трения, сил сопротивления...) механическая энергия системы не сохраняется, она уменьшается, что приводит к ее нагреванию. Такой процесс называется диссипацией (рассеянием) энергии. Силы, приводящие к диссипации энергии, называются диссипативными.

При соударении тел они в большей либо меньшей мере деформируются. При этом кинетическая энергия тел частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энергию тел. Увеличение внутренней энергии приводит к нагреванию тел.

Ограничимся рассмотрением центрального удара двух шаров, при котором шары движутся вдоль прямой, проходящей через их центры. На рис. 1 изображены два возможных случая центрального удара.

Рассмотрим два предельных вида соударения – абсолютно неупругий и абсолютно упругий удары.

Интересным примером, где имеет место потеря механической энергии под действием диссипативных сил, является абсолютно неупругий удар, при котором потенциальная энергия упругой деформации не возникает; кинетическая энергия тел частично или полностью превращается во внутреннюю энергию. После такого удара тела движутся с одинаковыми скоростями (т.е. как одно тело) либо покоятся.

При абсолютно неупругом ударе выполняется только закон сохранения суммарного импульса тел: , откуда,

. (7)

Кинетическая же энергия, которой обладала система до удара, после соударения уменьшается или стремится к нулю. Изменение кинетической энергии:

Это такой удар, при котором полная механическая энергия тел сохраняется. Сначала кинетическая энергия частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкиваясь друг от друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую и тела разлетаются со скоростями, которые определяются исходя их законов сохранения суммарного импульса и суммарной энергии тел.

Обозначим массы шаров m 1 и m 2 , скорости шаров до удара и, скорости шаров после удараии напишем уравнения сохранения импульса и энергии:

Решая совместно эти два уравнения, найдем скорости шаров после абсолютно упругого удара:

Чтобы осуществить расчеты, нужно спроектировать все векторы на ось х . Сделаем это, например, для случая а) на рис. 1:

Если ответ получается положительным, то это означает, что шар после соударения движется вправо, если – отрицательный, то шар движется влево.

Классическая механика учитывает только кинетическую энергию макроскопического движения тел и их макроскопических частей, а также их потенциальную энергию. Но она полностью отвлекается от внутреннего атомистического строения вещества. При ударе, трении и аналогичных процессах кинетическая энергия видимого движения тел не пропадает. Она только переходит в кинетическую энергию невидимого беспорядочного движения атомов и молекул вещества, а также в потенциальную энергию их взаимодействия. Эта часть энергии получила название внутренней энергии.

Беспорядочное движение атомов и молекул воспринимается нашими органами чувств в виде тепла.

Таково физическое объяснение кажущейся потери механической энергии при ударе, трении и пр.

В физике закон сохранения энергии распространяют не только на явления, рассматриваемые в механике, но на все без исключения процессы, происходящие в природе.

Полное количество энергии в изолированной системе тел и полей всегда остается постоянным; энергия лишь может переходить из одной формы в другую.

В основе закона сохранения энергии лежит такое свойство времени как однородность, т.е. равнозначность всех моментов времени, заключающаяся в том, что замена момента времени t 1 моментом времениt 2 , без изменения значений координат и скоростей тел не изменяет механических свойств системы. Поведение системы, начиная с момента времениt 2 будет таким же, каким оно было бы, начиная с моментаt 1 .

Лекция № 9 .

Твердое тело как система материальных точек. Абсолютно твердое тело. Поступательное и вращательное движение абсолютно твердого тела. Мгновенные оси вращения. Момент силы. Момент инерции. Уравнение динамики вращательного движения тела относительно неподвижной оси.

Абсолютно твеpдым телом называется тело, дефоpмациями котоpого по условиям задачи можно пpенебpечь. У абсолютно твеpдого тела pасстояние между любыми его точками с течением вpемени не меняется. В теpмодинамическом смысле такое тело не обязательно должно быть твеpдым. Напpимеp, легкий pезиновый шаpик, наполненный водоpодом, можно pассматpивать как абсолютно твеpдое тело, если нас интеpесует его движение в атмосфеpе. Положение абсолютно твеpдого тела в пpостpанстве хаpактеpизуется шестью кооpдинатами. Это видно из следующих сообpажений. Положение абсолютно твеpдого тела полностью фиксиpуется заданием тpех точек, жестко связанных с телом. Положение тpех точек задается девятью кооpдинатами, но поскольку pасстояния между точками неизменны, то эти девять кооpдинат будут связаны тpемя уpавнениями. Следовательно, независимых кооpдинат, опpеделяющих положение твеpдого тела в пpостpанстве, останется шесть. Числу независимых кооpдинат соответствует число независимых видов движения, на котоpые может быть pазложено пpоизвольное движение тела. У абсолютно твердого тела таких движений шесть. Говоpят, что абсолютно твеpдое тело обладает шестью степенями свободы. Независимые виды движения тела можно выбpать по-pазному. Напpимеp, поступим следующим обpазом. Свяжем с твеpдым телом "жестко" одну точку и будем следить за ее движением и за движением тела вокpуг этой точки. Движение одной точки описывается тpемя кооpдинатами, т.е включает в себя тpи степени свободы. Их называют поступательными степенями свободы. Тpи дpугие степени свободы пpиходятся на вpащательное движение тела вокpуг выбpанной точки. Соответствующие степени свободы называются вpащательными. Таким обpазом, пpоизвольное движение твеpдого тела может быть pазбито на поступательное и вpащательное вокpуг неподвижной точки. Ниже мы pассмотpим поступательное движение твеpдого тела и его вpащательное движение вокpуг неподвижной оси.Поступательным движением тела называется такое движение, пpи котоpом любая пpямая, жестко связанная с телом, пеpемещается паpаллельно самой себе. Пpимеpом такого движения может служить движение велосипедной педали пpи движении велосипедиста. Пpи поступательном движении все точки тела движутся совеpшенно одинаково: у них одинаковые, но смещенные относительно дpуг дpуга тpаектоpии, одинаковые в любой момент вpемени скоpости, одинаковые ускоpения. Если так, то поступательное движение абсолютно твеpдого тела эквивалентно движению одной точки и кинематика поступательного движения сводится к кинематике точки. Вpащательное движение тела вокpуг неподвижной оси. Положение абсолютно твеpдого тела в этом случае хаpактеpизуется одной единственной кооpдинатой: углом повоpота тела вокpуг оси. Угол отсчитывается от некотоpого положения тела в опpеделенную стоpону, в pезультате этого углу повоpота пpиписывается знак (pис. 1.5).

Важнейшей хаpактеpистикой движения тела в этом случае является угловая скоpость. Угловой скоpостью тела называется пеpвая пpоизводная от угла повоpота по вpемени: (1.) Угловая скоpость показывает, на какой угол повоpачивается тело в секунду.Угловая скоpость хаpактеpизуется знаком. Она меньше нуля, если угол меняется в напpавлении, обpатном положительному напpавлению его отсчета. Если тело вpащается в одну стоpону, то его движение иногда описываетсячислом обоpотов N. Число обоpотов N связано с углом повоpота фоpмулой(2) В этом случае вместо угловой скоpости вводят понятие частоты вpащения (число обоpотов в секунду). Частота вpащения pавна пеpвой пpоизводной от числа обоpотов по вpемени, т. е.(3) Если вpащение pавномеpное, то угловую скоpость можно опpеделить известной фоpмулой:(4) Но эта фоpмула невеpна, если вpащение ускоpенное и угловая скоpость изменяется во вpемени. Угловым ускоpением называется пеpвая пpоизводная угловой скоpости по вpемени (или втоpая пpоизводная от угла повоpота по вpемени).(5) Вpащение является ускоpенным (с наpастающей угловой скоpостью), если знаки угловой скоpости и углового ускоpения одинаковы, и замедленным, если знаки угловой скоpости и углового ускоpения pазные. Пpи вpащении твеpдого тела вокpуг неподвижной оси все точки тела движутся по окpужностям с центpами, pасположенными на оси вpащения. Линейные величины для точек вpащающегося твеpдого тела связаны с угловыми, т.к. во все фоpмулы этих соотношений будет входить pадиус вpащения точки. Спpаведливы следующие соотношения:

(6) Между движением твеpдого тела вокpуг неподвижной оси и движением отдельной матеpиальной точки (или поступательным движением тела) существует тесная и далеко идущая аналогия. Пpи pешении задач полезно пользоваться этой аналогией. Каждой линейной величине из кинематики точки соответствует подобная величина из кинематики вpащения твеpдого тела. Кооpдинате s соответствует угол, линейной скоpости v - угловая скоpость, линейному (касательному) ускоpению а - угловое ускоpение. Пpиведем пpимеp того, как можно пользоваться аналогией между поступательным и вpащательным движениями. Известно, что pавноускоpенное движение описывается фоpмулами:

(7) По аналогии можно записать соответствующие фоpмулы для pавноускоpенного вpащения твеpдого тела:

(8) Аналогия между поступательным и вpащательным движениями существует и в динамике.

Движение абсолютно твердого тела можно рассматривать как движение системы большого числа материальных точек, сохраняющих неизменное положение друг относительно друга. Для каждой материальной точки справедлив второй закон динамики. Если масса -й точки і скорость её , то

, (9)

где - внутренние силы, действующие на данную точку со стороны других точек тела, а- действующие на неё внешние силы.

Напишем уравнения, аналогичные уравнению (1) , для каждой точки и просуммируем их. Так как
, то

, (10)

, (11)

т.е. производная от полного количества движения тела равна сумме внешних сил, действующих на тело.

Равенство (2) можно записать в виде

. (12)

Если тело движется только поступательно, то ускорения всех его точек одинаковы и, учитывая, что
(масса тела), получим

, (13)

.

Уравнение (5) носит название уравнения поступательного движения твердого тела.

Линия, соединяющая точки тела, которые в данный момент остаются в покое, называется мгновенной осью вращения . Качение может быть представлено как вращение вокруг мгновенных осей вращения. Мгновенная ось вращения перемещается по боковой поверхности цилиндра со скоростью, равной скорости поступательного движения его оси.

Рассмотрим движение шарика массой
, укрепленного на легкой нити, по окружности радиусав вертикальной плоскости. При длине нити, значительно большей радиуса шарика, его можно рассматривать как материальную точку.

Шарик движется под действием двух сил: силы упругости, действующей со стороны деформированной нити, и силы тяжести. Первая направлена все время вдоль радиуса окружности, а вторая составляет с ним переменный угол. Направление и величина результирующей этих сил меняется во время движения, поэтому меняется ускорение, с которым движется шарик.

Рассмотрим движение шарика на малом участке окружности, в пределах которого силу можно считать постоянной по величине и направлению. Обозначим угол между результирующей сил, действующей на шарик, и направлением касательной к траектории через (рис.1).

рис №1. Обращение точки по окружности под действием силы
.

Шарик приобретает тангенциальное ускорение под действием тангенциальной составляющей силы
, равной

.

По второму закону динамики

.

Как известно, угловое ускорение
и, следовательно,

. (14)

Умножая обе части равенства на , получим:

(15)

Слева в равенстве стоит величина, которая носит название момента силы относительно центра вращения.

Момент силы М относительно центра вращения численно равен произведению силы на длину перпендикуляра, опущенного из центра вращения на направление силы. Величина
называется плечом. Поэтому иногда момент силы определяют как произведение силы на плечо.

Величина
называется моментом инерции.

Момент инерции материальной точки относительно центра вращения численно равен произведению массы точки на квадрат её расстояния от центра вращения.

Таким образом,
(16)

Равенство свидетельствует о том, что инерциальные свойства материальной точки при движении по окружности определяет не только величина массы точки, но и её положение относительно центра вращения. Угловое ускорение - величина векторная, момент инерции - величина скалярная. Следовательно, момент силы - величина векторная и совпадает по направлению с вектором углового ускорения.

Положим, твердое тело может без трения вращаться вокруг неподвижной оси ОО

рис.№2. Тело, вращающееся вокруг неподвижной оси.

Пусть к телу приложена результирующая внешних сил . Кроме неё на тело действуют силы реакции со стороны связей (подшипников). Если силы трения отсутствуют, то силы реакции связей проходят через ось вращения и момент их относительно оси равен нулю. Подсчитаем момент равнодействующей внешних сил относительно оси вращения.

Для этого расчленим тело на достаточно малые элементы, чтобы расстояния от всех точек отдельного элемента до оси можно было считать одинаковым. Пусть масса элемента -, внешняя сила, действующая на него, -, угол между направлением силы и касательной к траектории элемента -.Положим (для определенности), что уголострый. При вращении тела каждый его элемент описывает окружность с центром на оси вращения. Для каждого элемента можно написать равенство вида (14):

,

где - угловое ускорение элемента с массой.

Просуммируем равенства по всем элементам:

.

Так как для абсолютно твердого тела угловое ускорение всех элементов одно и то же, то

Слева в равенстве стоит сумма моментов сил, действующих на все элементы тела. В теоретической механике доказывается теорема о том, что моменты суммы сил относительно какой-либо оси равен алгебраической сумме моментов этих сил относительно той же оси (теорема Вариньона).

Следовательно, слева в равенстве стоит величина вектора полного момента
сил, действующих на тело, относительно той же оси вращения.

Величина
равна сумме моментов инерции отдельных элементов относительно оси вращения и называется моментом инерциитела относительно оси.

Таким образом, основное уравнение вращательного движения тела можно записать в виде

.

Так как векторы всех моментов сил, действующих на элементы тела, откладываются на одной оси, то вектор полного момента сил также лежит на этой оси и связан с напрвлением результирующей силы правилом буравчика.

МЕХАНИКА ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ И ТЕОРИЯ РЕАКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ

На рубеже XIX-XX вв. в России была создана новая область механики, первые стимулы к разработке которой возникли в теоретическом естествознании и которая приобрела исключительно важное значение в технике середины XX в. Это динамика тел переменной массы И.В. Мещерского.

Иван Всеволодович Мещерский (1859-1935) родился в Архангельске. Учился он сначала в приходском училище, затем в уездном. В 1871 г. поступил в Архангельскую гимназию, курс которой окончил в 1878 г. с золотой медалью, причем в аттестате была отмечена «любознательность весьма похвальная, и особенно к древним языкам и математике». В той: же году И.В. Мещерский поступил на математическое отделение физико-математического факультета Петербургского университета. Это было время расцвета Петербургской математической школы, созданной П.Л. Чебышевым. Здесь он с восторгом слушал лекции как самого П.Л. Чебышева, так и известных в то время профессоров А.Н. Коркина (1837- 1908), К.П. Поссе (1847-1928) и многих других.

В студенческие годы Мещерский с особым интересом занимался механикой, которую читали Д.К. Бобылев и Н.С. Будаев. Влияние их сказалось на всей дальнейшей научной деятельности И.В. Мещерского. Особенно значительную роль в его жизни сыграл Д.К. Бобылев, автор крупных работ по гидродинамике и замечательный педагог. По окончании университета в 1882 г. Мещерский был оставлен при университете для подготовки к профессорскому званию.

ИВАН ВСЕВОЛОДОВИЧ МЕЩЕРСКИЙ (1859-1935)

Советский ученый в области механики, основоположник механики тел переменной массы. Работы И.В. Мещерского явились основой для решения многих проблем реактивной техники

В 1889 г. И.В. Мещерский выдержал при Петербургском университете экзамены на ученую степень магистра прикладной математики и получил право на чтение лекций. В ноябре 1890 г. И.В. Мещерский начал преподавание в Петербургском университете в качестве приват-доцента. В 1891 г. он получил кафедру механики на Петербургских высших женских курсах, которую занимал до 1919 г., т. е. времени слияния этих курсов с университетом. В 1897 г. Мещерский успешно защитил в Петербургском университете диссертацию на тему «Динамика точки переменной массы», представленную им для получения степени магистра прикладной математики.

В 1902 г. он был приглашен заведовать кафедрой в незадолго перед тем основанный Петербургский политехнический институт. Здесь и протекала до конца жизни его основная научно-педагогическая работа. И.В. Мещерский 25 лет вел педагогическую работу в Петербургском университете и 33 года в Политехническом институте. Многие слушатели Мещерского стали крупными учеными. Так, например, среди слушателей курса «Интегрирование уравнений механики», прочитанного Мещерским, были такие выдающиеся русские ученые, как академик А.Н. Крылов, профессор Г.В. Колосов и др. В архиве АН СССР хранится тетрадь А.Н. Крылова с записями лекций Мещерского, прочитанных последним в 1890/1891 учебном году в Петербургском университете. Широко известен его курс теоретической механики и особенно прекрасный задачник по механике, выдержавший более двух десятков изданий и принятый в качестве учебного пособия для высших учебных заведений не только в СССР, но и в ряде зарубежных стран.

Основным предметом научных исследований И.В. Мещерского явилась проблема движения тел с переменной массой. Всю свою творческую жизнь он посвятил созданию основ механики переменных масс и достиг в этом выдающихся результатов. Классический закон движения Ньютона, выражаемый дифференциальным уравнением

где m - масса точки, V - скорость, F - равнодействующая приложенных сил, перестает, вообще говоря, быть верным, если масса меняется со временем. Между тем в ряде важных случаев приходится иметь дело с движущимися телами переменной массы. Сам Мещерский в своей работе «Динамика точки переменной массы» писал: «Такие случаи нам представляет сама природа: масса Земли возрастает вследствие падения на нее метеоритов; масса метеорита, движущегося в атмосфере, убывает вследствие того, что некоторые частицы его или отрываются, или сгорают; масса падающей градины или снежинки возрастает в тех частях пути, где на нее оседают пары из окружающей атмосферы, и убывает вследствие испарения там, где она проходит через слои воздуха, более теплые и более сухие; плавающая льдина представляет пример, где масса возрастает вследствие намерзания и убывает вследствие таяния и т. д.

В некоторых случаях изменение массы вызывается искусственно: убывает масса летящей ракеты вследствие сгорания; убывает масса аэростата при выбрасывании балласта; возрастает масса привязного аэростата, когда он, поднимаясь, вытягивает за собой канат; возрастает масса корабля при нагрузке и убывает при разгрузке и т. д. Вообще, если тело находится в воздухе, масса его может возрастать вследствие оседания пыли и паров, вследствие присоединения частиц других тел, с которыми оно приходит в соприкосновение; масса может убывать вследствие сгорания, испарения, распыления.

Если тело находится в жидкости, его масса может возрастать вследствие оседания на поверхности некоторых частиц из этой жидкости, вследствие намерзания и может убывать вследствие размывания тела жидкостью, вследствие растворения или таяния» {217} .

До Мещерского были разобраны лишь немногие частные задачи такого рода, и к тому же решения их иногда были ошибочными. Можно утверждать, что на рубеже XIX и XX вв. трудами И.В. Мещерского были заложены основы динамики точки переменной массы и создан новый большой раздел теоретической механики - механика переменных масс. И.В. Мещерский начал заниматься вопросами движения тел переменной массы в 1893 г. 27 января этого года на заседании Петербургского математического общества он доложил о первых своих результатах в этом направлении.

В магистерской диссертации «Динамика точки переменной массы» Мещерский установил, что если масса точки изменяется во время движения, то основное дифференциальное уравнение движения Ньютона заменяется следующим фундаментальным уравнением движения точки переменной массы:

где F и R = dm/dt?U r - заданная и реактивная силы.

Это уравнение называют уравнением Мещерского. В диссертации Мещерский дал общую теорию движения точки переменной массы для случая отделения (или присоединения) частиц. В 1904 г. в «Известиях Петербургского политехнического института» был напечатан второй труд И.В. Мещерского «Уравнения движения точки переменной массы в общем случае». В этой работе теория Мещерского получила окончательное и в высшей степени изящное выражение. Здесь он устанавливает и исследует общее уравнение движения точки, масса которой изменяется от одновременного процесса присоединения и излучения материальных частиц. И.В. Мещерский не только разработал теоретические основы динамики переменной массы, но и рассмотрел большое количество частных задач о движении точки переменной массы, например восходящее движение ракеты и вертикальное движение аэростата. Он подверг весьма обстоятельному исследованию движение точки переменной массы под действием центральной силы, заложив тем самым основания небесной механики тел переменной массы. Он исследовал также и некоторые проблемы комет. И.В. Мещерский впервые сформулировал и так называемые обратные задачи, когда по заданным внешним силам и траектории определяется закон изменения массы.

Заслуги И.В. Мещерского в науке чрезвычайно велики. Однако лишь в последнее время с достаточной полнотой выяснилось огромное практическое значение его исследований по механике переменных масс. После второй мировой войны стало появляться большое число глубоких теоретических исследований, посвященных как специальным проблемам ракетодинамики и динамики тел переменной массы, так и обобщению результатов исследований И.В. Мещерского. Опираясь на труды И.В. Мещерского, советские ученые разработали основные вопросы динамики твердого тела и произвольных изменяемых систем переменной массы.

В историю отечественной науки Мещерский вошел как основоположник механики тел переменной массы. Его исследования в этой области явились теоретической основой современной ракетодинамики. Имя И.В. Мещерского неразрывно связано с именем создателя научных основ космонавтики К.Э. Циолковского.

Константин Эдуардович Циолковский является пионером ракетодинамики, теории реактивных двигателей и учения о межпланетных сообщениях. Он один из основателей экспериментальной аэродинамики в России, создатель первого проекта конструкции и теории цельнометаллического дирижабля, автор многих ценных изобретений в технике летания.

Жизнь Циолковского полна подлинного драматизма. Его трагическая судьба в дореволюционной России и затем великий триумф в Советском Союзе отразили исторический перелом в судьбах отечественной научно-технической мысли.

Напряженная, наполненная непрестанными поисками, до предела насыщенная внутренним содержанием, жизнь Циолковского небогата внешними событиями. Его биография резко отличается от обычных жизнеописаний ученых. Здесь нет студенческих лет, непосредственного общения с представителями предшествующего поколения ученых, разрабатывавшими такие же или сходные проблемы, нет кафедры, научных рангов и т. д.

Константин Эдуардович Циолковский родился 17 сентября 1857 г. в с. Ижевском Спасского уезда Рязанской губернии в семье ученого-лесовода. Девяти лет Циолковский в результате осложнения, полученного после скарлатины, почти полностью потерял слух. Глухота не позволила продолжать учебу в школе. Чтобы восполнить пробел в своем образовании, он, занимаясь самостоятельно, прошел полный курс средней школы и значительную часть университетского курса.

В своей автобиографии К.Э. Циолковский писал: «…Учителей, кроме ограниченного количества и сомнительного качества книг, у меня не было, и меня можно считать самоучкой чистой крови. Я так привык к самостоятельной работе, что, читая учебники, считал более легким для себя доказать теорему без книги, чем вычитывать из нее доказательства».

В 1879 г. Константин Эдуардович сдал экстерном экзамен на звание учителя средней школы и начал преподавать математику в Боровском уездном училище Калужской губернии. Все свободное от школьных занятий время он посвящал научным исследованиям.

Творчество Циолковского отличают разносторонность и широта научных интересов. Его интересовали самые разнообразные области знания - естествознание, техника, философия. Однако основные его работы связаны с решением трех крупнейших технических проблем: воздухоплавание, авиация и межпланетные сообщения.

В середине 80-х годов Циблковский начал проводить серьезные исследования по проблеме создания управляемого аэростата. В результате он пришел к выводу, что целесообразно создавать аэростаты только металлические и больших размеров. Кроме того, Циолковский показал, что возможно осуществить управление аэростатами. Он разработал проект цельнометаллического дирижабля с гофрированной оболочкой, у которого в полете мог изменяться объем и производиться подогрев газа.

Изменение объема аэростата давало возможность сохранить неизменной подъемную силу при изменении температуры и давления окружающего воздуха. Подогрев газа внутри корпуса аэростата Циолковский предполагал производить за счет тепла отработанных продуктов сгорания. Идея подогрева газа преследовала цель регулировать изменение подъемной силы дирижабля при перемене метеорологических условий, при подъеме и спуске, сохраняя газ и балласт.

КОНСТАНТИН ЭДУАРДОВИЧ ЦИОЛКОВСКИЙ (1857-1935)

Советский ученый и изобретатель, основоположник современной ракет о динамики, теории реактивных двигателей и учения о межпланетных сообщениях

Другой важной технической проблемой, которой Циолковский уделял большое внимание, является разработка вопросов аэродинамики и авиации. Уже в работе по теоруии аэростата, законченной в 1886 г., он затрагивает вопросы аэродинамики в связи с определением, формы аэростата наименьшего сопротивления. Непосредственно аэродинамическим исследованиям посвящена его работа «Давление жидкости на равномерно движущуюся плоскость» (опубликована в 1891 г.).

В 1894 г. появляется его работа по теории самолета «Аэроплан или птицеподобная (авиационная) летательная машина».

Анализируя возможные схемы летательных аппаратов (с машущими и с неподвижными крыльями), Циолковский приходит к идее создания летательной машины, близкой по схеме к современному самолету-моноплану. Циолковский разработал схему самолета, представлявшего собой моноплан со свободнонесущими крыльями, обтекаемой формы фюзеляжем, горизонтальным и вертикальным оперениями, винтомоторной группой (с двигателем внутреннего сгорания), колесным шасси. Крыло самолета имело вогнутый профиль (с острой задней кромкой), толщина которого уменьшалась при приближении к задней кромке.

В 1897 г. Циолковский сконструировал аэродинамическую трубу - первую в России трубу, примененную для исследований в области авиации и воздухоплавания. Опыты в аэродинамической трубе позволили Циолковскому установить важнейшие законы сопротивления среды, провести систематическое исследование лобового сопротивления и подъемной силы тел различной формы, в том числе пяти моделей крыльев (плоских и вогнутых пластинок различного удлинения) и оболочек дирижаблей. Результаты своих первых исследований в аэродинамической трубе Циолковский изложил в работе «Давление воздуха на поверхности, введенные в искусственный воздушный поток», напечатанной в «Вестнике опытной физики и элементарной математики» в 1898 г.

В этой работе Циолковский дал анализ влияния удлинения крыла и тела вращения на их аэродинамические характеристики, нашел формулу для сопротивления трению и установил зависимость его от величины скорости и характерного размера тела (причем эти величины входят в формулу в одной и той же степени), дал сравнительную оценку сопротивления тел различной формы, указал на важное влияние формы кормовой части тела на величину его сопротивления.

Третьим крупнейшим циклом работ Циолковского являются его исследования в области реактивного движения и межпланетных сообщений. В 1883 г. он написал книгу «Свободное пространство», в которой рассматривает явления, происходящие в среде при отсутствии силы тяжести. В этой работе он высказывает мысль о возможности использования реактивного движения для полетов в безвоздушном пространстве.

В 1898 г. Циолковский вывел формулу, связывающую скорость ракеты, скорость истечения продуктов горения, массу ракеты и массу израсходованного горючего.

Результаты своих исследований по теории движения ракет, проводившихся в 1896-1898 гг., Циолковский опубликовал лишь в 1903 г. в знаменитом труде «Исследование мировых пространств реактивными приборами». Циолковский впервые обосновал возможность осуществления межпланетных сообщений с помощью ракетных аппаратов и установил законы движения ракет.

В основе теории движения ракет лежит гипотеза о постоянстве относительной скорости истечения газа из сопла. Эта гипотеза называется в современной литературе гипотезой Циолковского и составляет основу всех расчетов, связанных с изучением движения ракет. Вначале Циолковский решает задачу о движении ракеты в среде, где отсутствуют внешние силы. С качественной стороны эта задача была проанализирована Циолковским еще в 1883 г. в работе «Свободное пространство». Дав научное обоснование теории полета ракет, разработав теорию прямолинейного реактивного движения тел переменной массы, Циолковский стал основоположником ракетодинамики.

В литературу по ракетодинамике вошли теоремы, доказанные Циолковским. Первая теорема представляет собой формулу

V max = c?ln(1+z)

где V max - скорость полета ракеты в среде без атмосферы и сил тяготения, с - относительная скорость истечения газов, z = т/М (т - масса топлива, М - масса ракеты без топлива). Отношение т/М = z называется числом Циолковского.

Вторая теорема утверждает, что

u = 1 / 2 ? 2 ,

u = T/T’ = 1 / 2 ? V max 2 ?M: 1 / 2 ?c 2 ?m

Утилизация по Циолковскому, собственно коэффициент полезного действия ракеты (Т - работа, производимая при движении ракеты, Т - работа взрывчатых веществ, т. е. работа, обусловленная истечением газов).

Первая теорема, или формула Циолковского (так она называется в современной технической литературе), применяется в некоторых случаях при расчете параметров космических аппаратов.

Заслуги Циолковского признаны и в других странах, где имя его пользуется большим уважением. Известный немецкий ученый и исследователь реактивного движения в космическом пространстве профессор Герман Оберт писал в 1929 г. К.Э. Циолковскому: «Я, разумеется, самый последний, кто стал бы оспаривать Ваше первенство и Ваши заслуги в области ракет, и я только сожалею, что не услышал о Вас раньше 1925 г. Я был бы, наверное, в моих собственных работах сегодня гораздо дальше и обошелся бы без многих напрасных трудов, зная Ваши превосходные работы» {218} .

Французский аэроклуб, одна из старейших воздухоплавательных организаций, желая посмертно отметить выдающиеся заслуги Циолковского как патриарха звездоплавания и основоположника теории реактивных летательных аппаратов, в 1952 г. изготовил в его честь большую золотую медаль.

За шесть дней до своей смерти, 13 сентября 1935 г., К.Э. Циолковский писал, что его мечта не могла осуществиться до революции. После Октября, говорит Циолковский, «я почувствовал любовь народных масс, и это давало мне силы продолжать работу, уже будучи больным… Все свои труды по авиации, ракетоплаванию и межпланетным сообщениям передаю партии большевиков и Советской власти - подлинным руководителям прогресса человеческой культуры. Уверен, что они успешно закончат мои труды». И он не ошибся. Идеи Циолковского успешно претворяются в жизнь.

Труды К.Э. Циолковского по аэродинамике, авиации, ракетной технике и астронавтике вошли в золотой фонд мировой науки.

4. Аналитическая механика и теория Якоби Аналитическая механика, тесно связанная с именем великого Лагранжа, представляет собой совокупность методов, позволяющих быстро написать уравнения движения какой-либо системы, если известен набор параметров, знания которых

2. Кинетическая теория газов. Статистическая механика Если все материальные тела состоят из атомов, то естественно допустить, что в телах, находящихся в газообразном состоянии, частицы в среднем находятся достаточно далеко друг от друга и большую часть времени двигаются