Примеры движения тел с переменной массой. Движение тел с переменной массой. Российский государственный университет

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ракеты уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.

Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v, то по истечении времени dtее масса уменьшится на dm и станет равной т-dm, а скорость станет равной v+dv. Изменение импульса системы за отрезок времени dt

где u - скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда

(учли, что dmdv - малый высшего порядка малости по сравнению с остальными). Если на систему действуют внешние силы, то dp=Fdt, поэтому

Второе слагаемое в правой части (10.1) называют реактивной силой F p . Если он противоположен v по направлению, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится.

Таким образом, мы получили уравнение движения тела переменной массы

(10.2)

которое впервые было выведено И. В. Мещерским (1859-1935).

Идея применения реактивной силы для создания летательных аппаратов высказывалась в 1881 г. Н. И. Кибальчичем (1854-1881). К. Э. Циолковский (1857-1935) в 1903 г. опубликовал статью, где предложил теорию движения ракеты и основы теории жидкостного реактивного двигателя. Поэтому его считают основателем отечественной космонавтики.

Применим уравнение (10.1) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая F=0 и считая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим

Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее стартовая масса то, то С = u ln m 0 . Следовательно,

(10.3)

Это соотношение называется формулой Циолковского. Она показывает, что: 1) чем больше конечная масса ракеты т, тем больше должна быть стартовая масса ракеты m 0 ; 2) чем больше скорость истечения и газов, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.

Выражения (10.2) и (10.3) получены для нерелятивистских движений, т. е. для случаев, когда скорости v и u малы по сравнению со скоростью с распространения света в вакууме.

Задачи

2.1. По наклонной плоскости с углом наклона а к горизонту, равным 30°, скользит тело. Определить скорость тела в конце третьей секунды от начала скольжения, если коэффициент трения 0,15.

2.2. Самолет описывает петлю Нестерова радиусом 80 м. Какова должна быть наименьшая скорость самолета, чтобы летчик не оторвался от сиденья в верхней части петли?

2.3. Блок укреплен на вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы a = 30° и a = 45°. Гири равной массы (m 1 = m 2 =2 кг) соединены нитью, перекинутой через блок. Считая нить и блок невесомыми, принимая коэффициенты трения гирь о наклонные плоскости равными f 1 = f 2 =f = 0,1 и пренебрегая трением в блоке, определить. 1) ускорение,
с которым движутся гири, 2) силу натяжения нити.

2.4. На железнодорожной платформе установлена безоткатная пушка, из которой производится выстрел вдоль полотна под углом a=45° к горизонту. Масса платформы с пушкой Л/=20 т, масса снаряда т=10 кг, коэффициент трения между колесами платформы и рельсами f = 0,002. Определить скорость снаряда, если после выстрела платформа откатилась на расстояние s=3 м. [ м/с]

2.5. На катере массой т=5 т находится водомет, выбрасывающий m=25 кг/с воды со скоростью u = 7 м/с относительно катера назад. Пренебрегая сопротивлением движению катера, определить: 1) скорость катера через 3 мин после начала движения, 2) предельно возможную скорость катера.

Глава 3

Работа и энергия

Энергия, работа, мощность

Энергия - универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. С раз личными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и пр. В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в других - переходит в иную форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое). Однако существенно, что во всех случаях энергия, отданная (в той или иной форме) одним телом другому телу, равна энергии, полученной последним телом.

Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы.

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F, которая составляет некоторый угол а с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы F, на направление перемещения (F s =Fcos a), умноженной на перемещение точки приложения силы:

В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, поэтому формулой (11.1) пользоваться нельзя. Если, однако, рассмотреть элементарное перемещение dr, то силу Г можно считать постоянной, а движение точки ее приложения - прямолинейным. Элементарной работой силы F на перемещении dr называется скалярная величина

dA = Fdr = Fcosa ds = F 2 ds,

где a - угол между векторами F и dr; ds=|dr| - элементарный путь; F s - проекция вектора F на вектор dr (рис. 13).

Работа силы на участке траектории от точки 1до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Эта сумма приводится к интегралу

(11.2)

Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость силы F s от пути t вдоль траектории 1 -2. Пусть эта зависимость представлена графически (рис. 14), тогда искомая работа А определяется на графике площадью заштрихованной фигуры. Если, рапример, тело движется прямолинейно, сила F= const и а = const, то получим

где s - пройденный телом путь (см. также формулу (11.1)).

Из формулы (11.1) следует, что при a < p/2 работа силы положительна, в этом случае составляющая F, совпадает по направлению с вектором скорости движения v (см. рис. 13). Если a > p/2, то работа силы отрицательна. При a = p/2 (сила направлена перпендикулярно перемещению) работа силы равна нулю.

Единица работы - джоуль (Дж): 1 Дж - работа, совершаемая силой 1 Н на пути 1 м(1 Дж=1 Н-м).

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности:

(11.3)

За время dt сила F совершает работу Fdr, и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени

т. е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N - величина скалярная.

Единица мощности - ватт (Вт): 1 Вт - мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж (1 Вт=1 Дж/с).

Для начала сформулируем, что такое переменная масса.

Определение 1

Переменная масса – это масса тела, которая может меняться при медленных движениях из-за частичных приобретений или потерь составляющего вещества.

Чтобы записать уравнение движения для тела с такой массой, возьмем для примера движение ракеты. В основе ее перемещений лежит очень простой принцип: она движется за счет выброса вещества с большой скоростью, а также сильного воздействия, оказываемого на это вещество. В свою очередь выбрасываемые газы также оказывают воздействие на ракету, придавая ей ускорение в противоположном направлении. Кроме того, ракета находится под действием внешних сил, таких, как гравитация Солнца и других планет, земная тяжесть, сопротивление среды, в которой она совершает движение.

Рисунок 1

Обозначим массу ракеты в какой-либо момент времени t как m (t) , а ее скорость как v (t) . То количество движения, которая она при этом совершает, будет равно m v . После того, как пройдет время d t , обе эти величины получат приращение (соответственно d m и d v , причем значение d m будет меньше 0). Тогда количество движения, совершаемого ракетой, станет равно:

(m + d m) (v + d v) .

Нам необходимо учитывать тот момент, что за время d t также происходит движение газов. Это количество тоже нужно добавить в формулу. Оно будет равно d m г а з v г а з. Первый показатель означает массу газов, которые образуются за указанное время, а второй – их скорость.

Теперь нам нужно найти разность между суммарным количеством движения за время t + d t и количеством движения системы во время t . Так мы найдем приращение данной величины за время d t , которое будет равно F d t (буквой F обозначена геометрическая сумма всех тех внешних сил, которые действуют в это время на ракету).

В итоге мы можем записать следующее:

(m + d m) (v + d v) + d m г а з + v г а з - m v = F d t .

Поскольку нам важны именно предельные значения d m d t , d v d t и их производные, приравняем эти показатели к нулю. Значит, после раскрытия скобок произведение d m · d v может быть отброшено. С учетом сохранения массы получим:

d m + d m г а з = 0 .

Теперь исключим массу газов d m г а з и получим скорость, с которой газы будут покидать ракету (скорость струи вещества), выражающаяся разностью v о т н = v г а з - v . Учитывая эти преобразования, можно переписать исходное уравнение в следующем виде:

d m v = v о т н d m + F d t .

Теперь разделим его на d t и получим:

m d v d t = v о т н d m d t + F .

Уравнение Мещерского

Форма полученного уравнения точно такая же, как у уравнения, выражающего второй закон Ньютона. Но, если там мы имеем дело с постоянной массой тела, то здесь из-за потери вещества она постепенно меняется. К тому же помимо внешней силы нужно учитывать так называемую реактивную силу. В примере с ракетой это будет сила выходящей из нее газовой струи.

Определение 2

Уравнение m d v d t = v о т н d m d t + F впервые вывел русский механик И.В. Мещерский, поэтому оно получило его имя. Также его называют уравнением движения тела с переменной массой .

Попробуем исключить из уравнения движения ракеты внешние силы, воздействующие на нее. Предположим, что движение ракеты прямолинейно, а направление противоположно скорости газовой струи v о т н. Будем считать направление полета положительным, тогда проекция вектора v о т н является отрицательной. Она будет равна - v о т н. Переведем предыдущее уравнение в скалярную форму:

m d v = v о т н d m .

Тогда равенство примет вид:

d v d m = - v о т н m .

Газовая струя может выходить во время полета с переменной скоростью. Проще всего, разумеется, принять ее в качестве константы. Такой случай наиболее важен для нас, поскольку так уравнение решить намного проще.

Исходя из начальных условий, определим, какое значение приобретет постоянная интегрирования С. Допустим, что в начале пути скорость ракеты будет равна 0 , а масса m 0 . Следовательно, из предыдущего уравнения можем вывести:

C = v о т н ln m 0 m .

Тогда мы получим соотношения следующего вида:

Определение 3

Она предназначена для расчета запаса топлива, с помощью которого ракета может набрать необходимую скорость. При этом время сгорания топлива не обусловливает величину максимальной скорости ракеты. Чтобы разогнаться до предела, нужно увеличить скорость истечения газов. Для достижения первой космической скорости следует изменить конструкцию ракеты. Она должна быть многоступенчатой, поскольку необходимо меньшее соотношение между требуемой массой топлива и массой ракеты.

Разберем несколько примеров применения данных построений на практике.

Пример 1

Условие : у нас есть космический корабль, скорость которого постоянна. Для изменения направления полета в ней нужно включить двигатель, который выбрасывает газовую струю со скоростью v о т н. Направление выброса перпендикулярно траектории корабля. Определите угол изменения вектора скорости при начальной массе корабля m 0 и конечной m .

Решение

Ускорение по абсолютной величине будет равно a = ω 2 r = ω v , причем v = c o n s t .

Значит, уравнение движения будет выглядеть так:

m d v d t = v о т н d m d t перейдет в m v ω d t = - v о т н d m .

Поскольку d a = ω d t является углом поворота за время d t , то после интеграции первоначального уравнения получим:

a = v о т н v ln m 0 m .

Ответ: искомый угол будет равен a = v о т н v ln m 0 m .

Пример 2

Условие: масса ракеты перед стартом равна 250 к г. Вычислите высоту, которую она наберет через 20 секунд после начала работы двигателя. Известно, что топливо расходуется со скоростью 4 к г / с, а скорость истечения газов постоянна и равна 1500 м / с. Поле тяготения Земли можно считать однородным.

Решение

Рисунок 2

Начнем с записи уравнения Мещерского. Оно будет иметь следующий вид:

m ∆ v 0 ∆ t = μ v о т н - m g .

Здесь m = m 0 - μ t и v 0 – скорость ракеты в заданный момент времени. Разделим переменные:

∆ v 0 = μ v о т н m 0 - μ t - g ∆ t .

Теперь решим полученное уравнение с учетом первоначальных условий:

v 0 = v о т н ln m 0 m 0 - μ t - g t .

С учетом того, что H 0 = 0 при t = 0 , у нас получится:

H = v о т н t - g t 2 2 + v о т н m 0 μ 1 - μ t m 0 ln 1 - μ t m 0 .

Добавим заданные значения и найдем ответ:

H = v о т н t - g t 2 2 + v о т н m 0 μ 1 - μ t m 0 ln 1 - μ t m 0 = 3177 , 5 м.

Ответ: через 20 секунд высота ракеты будет составлять 3177 , 5 м.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Переменная масса тела возникает в том случае, когда некоторая часть массы тела отделяется с некоторой скоростью от самого тела (возможно также присоединение массы телом во время движения). Отделившаяся часть может быть представлена, например, массой реактивной струи ракетного двигателя. Рассмотрим вначале движение ракеты в космосе, когда кроме силы со стороны реактивной струи, других сил, действующих на ракету, нет. В этом случае газы реактивной струи и ракета являются замкнутой (изолированной) системой и для этой системы выполняется закон сохранения импульса, т.е. суммарный импульс не изменяется. Запишем закон сохранения импульса. Допустим, что в некоторый момент времени ракета массы m движется со скоростью (в инерциальной системе отсчета). За последующий элементарно малый промежуток времени ракетный двигатель выбросит массу газов реактивной струи со скоростью (в той же инерциальной системе). Скорость газов реактивной струи направлена против скорости ракеты. Масса ракеты уменьшится на величину

. (24)

Импульс реактивной струи изменяется только за счет массы газов, выброшенных двигателем - ( . Импульс ракеты изменяется как за счет изменения ее массы так и за счет изменения ее скорости

На основании закона сохранения импульса суммарное изменение импульса равно нулю:

В принятой инерциальной системе отсчета скорость газов реактивной струи определяется как скоростью движения ракеты , так и скоростью истечения газов реактивного двигателя относительно тела ракеты :

Проектируя это векторное равенство на направление движения реактивной струи, имеем

Откуда ясно, что величина скорости реактивной струи (в инерциальной системе отсчета) меньше скорости истечения газов на величину скорости движения самой ракеты. Осуществив подстановку соотношений (24 и 26) в формулу (25), и проведя сокращения получим:

Спроектируем последнее соотношение на направление движения ракеты:

Скорость истечения газов реактивной струи относительно ракеты величина постоянная, т.е. . Тогда, проводя интегрирование в формуле (28) по скорости ракеты от до и по массе от М 0 до М , получим формулу Циолковского (1903 г.):

где М 0 – начальная масса ракеты (включая ракетное топливо на борту); М – масса ракеты, когда ее скорость достигает величины ; и – скорость истечения реактивных газов относительно ракеты; – скорость ракеты до включения ракетного двигателя.

Из формулы Циолковского ясно, что, чем больше скорость истечения газов реактивной струи ракетного двигателя относительно ракеты и , тем большую скорость может приобрести ракета.

Поделим обе части соотношения (27) на , в результате чего получим

В правой части последнего выражения стоит произведение массы ракеты на ускорение, т.е. сила, действующая на ракету. В левой части выражения стоит сила, вызывающая ускорение ракеты. Силу, вызывающую ускорение ракеты, называют реактивной силой. Следовательно, реактивная сила

Если, кроме реактивной силы, на тело ракеты действует также некоторая внешняя сила (например, сила тяжести), то в уравнении движения ракеты она добавляется к силе, развиваемой ракетным двигателем:

.

Это уравнение было получено Мещерским (1897 г.) и носит его имя.

Контрольные вопросы и задачи

1. Сформулируйте закон сохранения энергии в механике.

2. Сформулируйте закон сохранения и превращения энергии.

3. Сформулируйте закон сохранения импульса.

4. Сформулируйте закон сохранения момента импульса.

5. Из ствола орудия массой 2000 кг вылетает снаряд массой 20 кг. Кинетическая энергия снаряда при вылете равна 10 7 Дж . Какую кинетическую энергию получает ствол орудия вследствие отдачи?

6. Тело массой 3 кг движется со скоростью 4 м/с и сталкивается с неподвижным телом такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, найти количество тепла, выделившееся при ударе.

7. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на очень легком жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 100 раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до центра шара равно 1 м. Найти скорость пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на угол 60°.

8. Ленточным транспортером, который потребляет мощность 10 кВт ,разгружают баржу с углем на пристань, высота которой 2,5 м . Считая кпд равным 75 %, определить, сколько тонн угля можно разгрузить за 20 мин .

9. Ядерный реактор, работая в непрерывном режиме развивает мощность 1000 МВт . Допуская, что пополнение ядерного топлива в течение года не производят, определить на сколько уменьшилась масса ядерного топлива за год работы реактора.

10. Ракета стартует с поверхности Земли. Масса ракеты m = 2000 кг . Ракетный двигатель выбрасывает реактивную струю со скоростью 3 км/с и расходует 50 кг/с ракетного топлива (включая окислитель). Какую подъемную силу обеспечивает этот ракетный двигатель? Какое ускорение ракеты при старте обеспечивает этот двигатель?

11. Ракета в космосе (вдалеке от планет) разгоняется ракетным двигателем. На какую величину увеличится скорость ракеты, если при включении двигателей ее масса была М 0 = 3000 кг , а после выключения двигателей М = 1000 кг . Скорость реактивной струи двигателя относительно ракеты v = 3 км/с . Двигатель работал 1,5 мин ; какую перегрузку испытывали космонавты на борту этой ракеты в начальный момент работы ракетного двигателя?

12. Найти изменение кинетической энергии изолированной системы, состоящей из двух шариков с массами m 1 = 1 кг и m 2 = 2 кг , при их неупругом лобовом (центральном) столкновении. До столкновения они двигались с противоположно направленными скоростями v 1 = 1 м/с и v 2 = 0,5 м/с . Какая скорость будет у шариков после столкновения? Какая энергия выделяется в виде тепла во время столкновения?

Всемирное тяготение

Законы Кеплера

Основанием для установления закона всемирного тяготения Ньютону послужили, наряду с законами динамики, носящими его имя, три открытых Кеплером (1571-1630) закона движения планет:

2. Радиус-вектор, проведенный от Солнца к конкретной планете, отсекает, за равные промежутки времени, равные площади.

3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей эллипсов их орбит.

Третий закон Кеплера можно записать в следующей форме:

где T 1 и T 2 – периоды обращения двух конкретных планет; R 1 и R 2 – большие полуоси соответствующих эллипсов.

Закон всемирного тяготения

Получим закон всемирного тяготения теоретически, исходя из законов Кеплера и законов динамики Ньютона. Заметим, прежде всего, что окружность является частным случаем эллипса, причем радиус окружности равен соответствующей полуоси эллипса. Ввиду этого и для упрощения задачи, рассмотрим гипотетическую планетарную систему, т.е. систему, где все планеты движутся по круговым орбитам, в центре которых находится Солнце (тем самым будет использован первый закон Кеплера).

Согласно второму закону Кеплера, радиус-вектор конкретной планеты, отсекает, за равные промежутки времени, равные площади, что выполняется, если величина скорости движения конкретной планеты по круговой орбите есть величина постоянная (тем самым использован второй закон Кеплера).

Уравнение движения центра масс

Понятие центра масс позволяет придать уравнению , выражающему второй закон Ньютона для системы тел, иную форму. Для этого достаточно представить импульс системы как произведение массы системы на скорость ее центра масс:

Получили уравнение движения центра масс, согласно которому центр масс любой системы тел движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в нем, и к нему были бы приложены все внешние силы. Если сумма внешних сил равна нулю, то, а, значит, т. е. центр масс (инерции) замкнутой системы покоится или перемещается равномерно и прямолинейно. Другими словами, внутренние силы взаимодействия тел не могут придать какое-либо ускорение центру масс системы тел и изменить скорость его движения .

Скорость центра масс определяется полным импульсом механической системы, поэтому перемещение центра масс характеризует движение этой системы как единого целого.

Запишем изменение импульса системы для бесконечно малого промежутка времени dt . В момент отсчета времени t+dt масса ракеты равна m+dm. Так как dm < 0, то отделяемая масса равна – dm . Скорость ракеты за время dt получит приращение. Изменение импульса ракеты равно

Изменение импульса отделяемой массы:

Здесь – скорость отделяемой массы в выбранной нами системе отсчета. Согласно закону изменения импульса неизолированной системы тел

откуда следует, что

Разделив на dt , приходим к уравнению динамики переменной массы , впервые полученному российским физиком Мещерским:

Величину называют реактивной силой . Эта сила тем больше, чем быстрее изменяется масса тела со временем. Для тела постоянной массы реактивная сила равна нулю. Если масса тела уменьшается, то реактивная сила направлена в сторону, противоположную скорости отделяемой массы Если масса тела увеличивается, то реактивная сила сонаправлена скорости отделяемой массы

Теперь рассмотрим случай, когда внешних сил нет. В проекции направление движения ракеты уравнение Мещерского примет вид:

Интегрируя это выражение, получим:

Константу интегрирования C определим из начальных условий. Если в начальный момент отсчета времени t = 0 скорость ракеты равна нулю, а масса, то и Тогда

Это соотношение носит имя российского ученого К.Э. Циолковского и лежит в основе ракетостроения.

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет

Факультет Технической Кибернетики

Реферат на тему:

Движение тел переменной массы. Основы теоретической космонавтики.

Студент: Перов Виталий

Группа:1085/3

Преподаватель: Козловский В.В

Санкт-Петербург

История космонавтики 3

Уравнение Мещерского 3

Уравнение Циолковского 4

Числовые характеристики одноступенчатой ракеты 4

Многоступенчатые ракеты 5

Список используемой литературы: 6

Зарождение космонавтики

Моментом зарождения космонавтики можно условно назвать первый полёт ракеты, продемонстрировавший возможность преодолевать силу земного притяжения. Первая ракета открыла перед человечеством огромные возможности. Много смелых проектов было предложено. Один из них - возможность полёта человека. Однако, этим проектам было суждено воплотится в реальность только спустя многие годы. Своё практическое применение ракета нашла только в сфере развлечений. Люди не раз любовались ракетными фейерверками, и, вряд ли кто-нибудь тогда мог представить себе её грандиозное будущее.

Рождение космонавтики, как науки, произошло в 1987 году. В этом году была опубликована магистерская диссертация И.В Мещерского, содержащая фундаментальное уравнение динамики тел переменной массы. Уравнение Мещерского дало космонавтике «вторую жизнь»: теперь в распоряжении ракетостроителей появились точные формулы, которые позволяли создавать ракеты основываясь не на опыте предыдущих наблюдении, а на точных математических расчетах.

Общие уравнения для точки переменной массы и некоторые частные случаи этих уравнений уже после их опубликования И. В. Мещерским «открывались» в XX веке многими учёными западной Европы и Америки (Годар, Оберт, Эсно-Пельтри, Леви-Чивита и др.).

Случаи движения тел, когда их масса меняется можно указать в самых различных областях промышленности.

Наибольшую известность в космонавтики получило не уравнение Мещерского, а уравнение Циолковского. Оно представляет собой частный случай уравнения Мещерского.

К. Э. Циолковского можно назвать отцом космонавтики. Он был первым, кто увидел в ракете средство для покорения человеком космоса. До Циолковского на ракету смотрели как на игрушку для развлечений или как на один из видов оружия. Заслуга К. Э. Циолковского состоит в том, что он теоретически обосновал возможность покорения космоса при помощи ракет, вывел формулу скорости движения ракеты, указал на критерии выбора топлива для ракет, дал первые схематические чертежи космических кораблей, привёл первые расчеты движения ракет в поле тяготения Земли и впервые указал на целесообразность создания на орбитах вокруг Земли промежуточных станций для полётов на другие тела Солнечной системы.

Уравнение Мещерского

Уравнения движения тел с переменной массой являются следствиями законов Ньютона. Тем не менее, они представляют большой интерес, главным образом, в связи с ракетной техникой.

Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой, в свою очередь, действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. Если нет внешних сил, то ракета вместе с выброшенным веществом является замкнутой системой. Импульс такой системы не может меняться во времени. На этом положении и основана теория движения ракет.

Основное уравнение движения тела переменной массы при любом законе изменения массы и при любой относительной скорости выбрасываемых частиц было получено В. И. Мещерским в его диссертации 1897 г. Это уравнение имеет следующий вид:

где – вектор ускорения ракеты, –– вектор скорости истечения газов относительно ракеты, M- масса ракеты в данный момент времени, –– ежесекундный расход массы, - внешняя сила.

По форме это уравнение напоминает второй закон Ньютона, однако, масса тела m здесь меняется во времени из-за потери вещества. К внешней силе F добавляется дополнительный член, который называется реактивной силой.

Уравнение Циолковского

Если внешнюю силу F принять равной нулю, то, после преобразований, получим уравнение Циолковского:

Отношение m 0 /m называется числом Циолковского, и часто обозначается буквой z.

Скорость, рассчитанная по формуле Циолковского, носит название характеристической или идеальной скорости. Такую скорость теоретически имела бы ракета при запуске и реактивном разгоне, если бы другие тела не оказывали на неё никакого влияния.

Как видно из формулы, характеристическая скорость не зависит от времени разгона, а определяется на основе учёта только двух величин: числа Циолковского z и скорости истечения u. Для достижения больших скоростей необходимо повышать скорость истечения и увеличивать число Циолковского. Так как число z стоит под знаком логарифма, то увеличение u даёт более ощутимый результат, чем увеличение z в то же количество раз. К тому же большое число Циолковского означает, что конечной скорости достигает лишь небольшая часть первоначальной массы ракеты. Естественно, такой подход к проблеме увеличения конечной скорости не совсем рационален, ведь надо стремится выводить в космос большие массы, при помощи ракет с возможно меньшими массами. Поэтому конструкторы стремятся прежде всего к увеличению скоростей истечения продуктов сгорания из ракет.

Числовые характеристики одноступенчатой ракеты

При анализе формулы Циолковского было выяснено, что число z=m 0 /m является важнейшей характеристикой ракеты.

Разделим конечную массу ракеты на две составляющие: полезную массу М пол, и массу конструкции М констр. К полезной относят только массу контейнера, который требуется запустить с помощью ракеты для выполнения заранее запланированной работы. Масса конструкции – вся остальная масса ракеты без топлива(корпус, двигатели, пустые баки, аппаратура). Таким образом M= М пол + М констр; M 0 = М пол + М констр + М топл

Обычно оценивают эффективность транспортировки груза при помощи коэффициента полезной нагрузки р. р= M 0 / М пол. Чем меньшим числом выражен этот коэффициент, тем большую часть от общей массы составляет масса полезного груза

Степень технического совершенства ракеты характеризуется конструктивной характеристикой s. . Чем большим числом выражается конструктивная характеристика, тем более высокий технический уровень у ракеты-носителя.

Можно показать, что все три характеристики s, z и p связаны между собой следующими уравнениями:

Многоступенчатые ракеты

Достижение очень больших характеристических скоростей одноступенчатой ракеты требует обеспечения больших чисел Циолковского и ещё больших по величине конструктивных характеристик (т.к всегда s>z). Так, например при скорости истечения продуктов сгорания u=5км/с для достижения характеристической скорости 20км/с требуется ракета с числом Циолковского 54,6. Создать такую ракету в настоящее время невозможно, но это не значит, что скорость 20км/с не может быть достигнута при помощи современных ракет. Такие скорости обычно достигаются при помощи одноступенчатых, т.е составных ракет.

Когда массивная первая ступень многоступенчатой ракеты исчерпывает при разгоне все запасы топлива, она отделяется. Дальнейший разгон продолжает другая, менее массивная ступень, и к ранее достигнутой скорости она добавляет ещё некоторую скорость, а затем отделяется. Третья ступень продолжает наращивание скорости, и т.д.

Согласно формуле Циолковского, первая ступень в конце разгона достигнет скорости , где . Вторая ступень увеличит скорость ещё на , где . Полная характеристическая скорость двухступенчатой ракеты будет равна сумме скоростей, сообщаемых каждой ступенью в отдельности:

Если скорости истечения из ступеней одинаковы, то , где Z= - число Циолковского для двухступенчатой ракеты.

Нетрудно доказать, что в случае 3-x ступенчатой ракеты число Циолковского будет равно Z=.

Итак, предыдущая задача достичь скорости 20км/с легко решается с помощью 3-х ступенчатой ракеты. Для неё число Циолковского будет также равно 54,6, однако, числа Циолковского для каждой ступени (при условии их равенства между собой) будут равны 3.79, что является вполне достижимым для современной техники.

Список используемой литературы:

Основы космонавтики / А. Д. Марленский

Люди русской науки: Очерки о выдающихся деятелях естествознания и техники / под редакцией С. И. Вавилова.